Rigorózne konanie

Podmienky pre získanie titulu RNDr.

  • ukončené magisterské štúdium v odbore matematika alebo v príbuznom odbore
  • úspešné vykonanie rigoróznej skúšky
  • úspešná obhajoba rigoróznej práce

 

Fakulta má právo konať rigorózne skúšky a obhajovať rigorózne práce v odboroch:

  1. Aplikovaná matematika            - predseda komisie: prof. RNDr. Katarína Cechlárová, CSc.
  2. Diskrétna matematika              - predseda komisie: prof. RNDr. Stanislav Jendroľ, DrSc.
  3. Teória vyučovania matematiky - predseda komisie: prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc.

Témy rigoróznych prác budú doplnené. Okrem vypísaných tém je možné po dohode s predsedom príslušnej komisie zadať aj inú tému rigoróznej práce.

Rigorózna skúška pozostáva zo skúšky z dvoch predmetov. Jeden predmet musí byť zo skupiny povinných predmetov (podľa zamerania rigoróznej práce). Druhý predmet môže byť zo skupiny povinných alebo zo skupiny voliteľných predmetov.

 

Ďalšie informácie nájdete na stránkach fakulty.


Zoznam a anotácie predmetov rigoróznej skúšky z matematiky


Povinné predmety

Analytická a diferenciálna geometria

Metrické vlastnosti vektorov. Afinné a metrické vlastnosti lineárnych útvarov. Afinné a metrické vlastnosti kvadratických útvarov. Krivky euklidovského priestoru. Frenetove vzorce a ich dôsledky. Plochy euklidovského priestoru. Základné formy plôch. Niektoré krivky na ploche.
Predmetom skúšky sú kapitoly, ktoré si uchádzač vyberie (podľa svojho záujmu a témy rigoróznej práce) po dohode so skúšajúcim.
Literatúra: B. Budinský, Analytická a diferenciální geometrie, SNTL Praha 1983.
H.S.M. Coxeter, Introduction  to Geometry, Wiley, New York 1961.

 

Diferenciálne rovnice

Základné pojmy. Elementárne metódy riešenia diferenciálnych rovníc. Existencia a jednoznačnosť riešenia. Základné vlastnosti riešení lineárneho diferenciálneho systému a lineárnej diferenciálnej rovnice. Lineárny diferenciálny systém (lineárna diferenciálna rovnica) s konštantnými koeficientami. Porovnávacie vety.
Literatúra:
M. Greguš, M. Švec, V. Šeda, Obyčajné diferenciálne rovnice, Alfa, Bratislava 1985.
I. Kluvánek, L. Mišík, M. Švec, Matematika II, Alfa, Bratislava 1961.

 

Funkcie komplexnej premennej

Postupnosti a rady komplexných čísel. Funkcia – jednoznačná, mnohoznačná, inverzná. Analytické funkcie. Konformné zobrazenie. Potenčné rady. Funkcie – exponenciálna, trigonometrické, logaritmická, mocninná. Integrál funkcie komplexnej premennej. Cauchyho integrálna veta. Cauchyho integrálny vzorec. Taylorov rad. Laurentov rad.
Literatúra:
I. Kluvánek, L. Mišík, M. Švec, Matematika II, Alfa, Bratislava 1961.
I. I. Privalov, Vvedenie v teoriju funkcij komplexnogo peremennogo, Nauka, Moskva 1977.

 

Galoisova teória

Jednoduché rozšírenia polí. Algebraický a transcendentný prvok nad poľom. Adjunkcia koreňov. Stupne a konečné rozšírenia. Algebraické čísla. Rozkladové polia polynómov. Konečné polia.
Literatúra:
G. Birkhoff, S. Mac Lane, Prehľad modernej algebry, Alfa, Bratislava 1979, kapitola 14 a 15.

 

Kombinatorická optimalizácia

Výpočtová  zložitosť algoritmov. NP-úplnosť kombinatorických algoritmov. Prehľadávanie grafov. Stromy a kostry – vyhľadanie všetkých kostier, úloha o minimálnej kostre. Úlohy o cestách v grafoch. Úlohy o tokoch. Párovacie a priraďovacie  a dopravné problémy. Využitie metód lineárneho programovania. Primárno-duálny algoritmus. Približné algoritmy.
Literatúra:
N. Christofides: Graph Theory - An Algorithmic Approach,   Academic Press, New York 1975 (ruský preklad z r. 1978).
J. Plesník: Grafové algoritmy, Veda, Bratislava 1983.
G. Chartrand, O. R. Oellermann, Applied and Algorithmic Graph Theory, McGraw-Hill, Inc., New York 1993.

 

Kombinatorika

Permutácie, kombinácie, kombinácie s opakovaním. Dôležité kombinatorické identity. Vytvárajúce funkcie a ich využitie pri riešení kombinatorických úloh. Partície. Blokové schémy a ich incidenčné matice. Základné tvrdenia o blokových schémach. Princíp inklúzie a exklúzie. Systémy rôznych reprezentantov.
Literatúra: N.Ja. Vilenkin, Kombinatorika, Nauka, Moskva 1969 (existuje slovenský preklad).
M. Hall, Combinatorial  Theory, Blaisdell Publishing Company 1967 (ruský preklad: Kombinatorika, Moskva 1970).

 

Lineárna optimalizácia

Vlastnosti úlohy lineárneho programovania. Konvexnosť prípustnej množiny. Existencia optimálneho krajného bodu. Bázické prípustné riešenia a prechod medzi nimi. Simplexová metóda a jej štartovanie. Problém zacyklenia a jeho odstránenie. Dualita v lineárnom programovaní.  Vzťah medzi riešeniami primárnej a duálnej úlohy. Ekonomická interpretácia duality. Duálna a revidovaná simplexová metóda. Analýza senzitivity a postoptimalizačná analýza.
Literatúra:
J. Plesník, J. Dupačová, M. Vlach, Lineárne programovanie, Alfa,  Bratislava 1992.

 

Matematická logika

Predikátový počet: pojem termu, formuly, voľná a viazaná premenná. Formalizovaná teória a dôkaz. Metódy dôkazu. Veta o kompaktnosti. Interpretácia jazyka, model teórie. Gödelova veta o úplnosti. Neprotirečivosť teórie a existencia modelu.
Literatúra:
A. Sochor,  Klasická matematická logika, Praha 2001.
E. Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, van Nostrand 1964 (existujú ďalšie vydania a ruský preklad).

 

Množinová topológia

Topologický priestor, rozličné možnosti zadania topológie. Konvergencia. Axiómy oddeľovania a ich význam. Kompaktnosť a jej základné vlastnosti. Kompaktifikácia. Kompaktnosť metrických priestorov. Súvislosť priestoru. Vety typu Bairea.               
Literatúra:
R. Engelking, Topologia ogólna, Warszawa 1975 (existujú aj anglické vydania).
N. Bourbaki, Topologie générale, Chap. 1.–3., Paris 1956 (existuje viacero novších vydaní a ruský preklad).

 

Syntetická geometria

Trojuholníky. Pravidelné n-uholníky. Zhodnosti a podobnosti euklidovskej roviny. Zobrazenia euklidovského priestoru. Kružnice a guľové plochy. Afinná a projektívna geometria. Axiomatická výstavba geometrie (Hilbertova sústava axióm.)
Predmetom skúšky sú kapitoly, ktoré si uchádzač vyberie (podľa svojho záujmu a témy rigoróznej práce) po dohode so skúšajúcim.
Literatúra:
H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry, Wiley, New York 1961.
J. Švrček, J. Vanžura, Geometrie trojúhelníka, SNTL, Praha 1988.
V. Svitek, Logické základy geometrie, SPN, Bratislava 1969.

Teória čísel

Pojmy, tvrdenia, metódy a výsledky elementárnej teórie čísel v rozsahu hociktorej
z nižšie citovaných položiek.
Literatúra:
M. Kolibiar, Algebra a príbuzné disciplíny, Alfa, Bratislava 1991 (Časť A: 2-6).
T.Šalát: Vybrané kapitoly z elementárnej teórie čísel, SPN, Bratislava 1969
(Kapitoly: 1-4).
I. M. Vinogradov, Základy theorie čísel, Nakladatelství ČSAV, Praha 1953 (Kapitoly: 1-5).

 

Teória grafov

Stromy. Eulerovské a hamiltonovské grafy. Farebnosť v grafoch. Úvod do topologickej teórie grafov. Úvod do extremálnej teórie grafov. Orientované grafy. Siete.  Ramseyova teória pre grafy.
Literatúra:
J.A. Bondy and U.S.R. Murty, Graph Theory with Applications, North  Holland, New York 1976. 
R. Diestel, Graph Theory, Springer, New York, Berlin, 1996.
M. Kolibiar a kol., Algebra a príbuzné disciplíny, Alfa, Bratislava 1991, časť B.

 

Teória grúp

Grupy, podgrupy. Cyklické grupy. Grupy permutácií. Rozklady na grupách, Lagrangeova veta. Normálne podgrupy, kongruencie na grupách, faktorové grupy, vety o izomorfizmoch. Priame súčiny   grúp.  Štruktúra konečnogenerovaných grúp. 
Literatúra:
A. Legéň, Grupy, okruhy a zväzy, Alfa, Bratislava 1980.

 

Vybrané partie z matematickej analýzy

Integrálny počet funkcií viac premenných – definícia integrálu na intervale, niektoré vlastnosti a výpočet integrálu na intervale, integrál na množine, niektoré vlastnosti a výpočet integrálu na množine, dvojné a trojné integrály. Nevlastné integrály – definícia, vety o existencii a metódy výpočtu nevlastných integrálov. Parametrické integrály – vlastnosti funkcie danej parametrickým integrálom, príklady výpočtu integrálov, funkcie gama a beta, Stirlingov vzorec.
Literatúra:
I. Kluvánek, L. Mišík, M. Švec, Matematika II, Alfa, Bratislava 1961.

 


Voliteľné predmety

 

Algoritmy a zložitosť

Turingov stroj ako formalizácia pojmu algoritmus. Čiastočne rekurzívne funkcie. Kleeneho veta o normálnom tvare. Vzťah funkcií vypočítateľných na Turingovom stroji a čiastočne rekurzívnych funkcií. Problém zastavenia sa Turingovho stroja. Vlastnosti rekurzívne očíslovateľných množín. Univerzálny systém programov. Veta o preklade, Riceova veta. Dynamická miera zložitosti, príklady. Veta o medzere, vzťah hodnoty funkcie a dynamickej miery zložitosti.
Literatúra:
M. Machtey , P. Young, An Introduction to the General Theory of Algorithms, North Holland 1978.
S. Bridges, Computability: A Mathematical Sketchbook, Springer 1994.
L. Bukovský, Teória algoritmov, Košice 2004.

 

Automaty a formálne jazyky

Chomského hierachia jazykov a gramatík. Konečnostavový automat a jeho varianty: deterministické, nedeterministické, alternujúce, pravdepodobnostné, kvantové, atď. Jednosmerné, dvojsmerné, obratovo ohraničené konečnostavové automaty. Regulárne výrazy a gramatiky. Unárne regulárne jazyky a ich vlastnosti. Problematika konštrukcie efektívnych automatov jednotlivých typov z hľadiska počtu stavov a hrán. Súvislosti medzi teóriou konečnostavových automatov a teóriou zložitosti.
Literatúra:
J. E. Hopcroft, R. Motwani, J. D. Ullman, Introduction to Automata Theory  Languages, and Computation, Addison-Wesley, 2001.

 

Funkcionálna analýza

Základy teórie množín. Metrické a topologické priestory. Princíp kontraktívnych zobrazení. Lineárne priestory a lineárne funkcionály. Konvexné množiny a konvexné funkcionály. Normované priestory. Euklidove priestory. Topologické lineárne priestory.
Literatúra: A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy, SNTL, Praha 1975.


Grafové algoritmy

Úvod do teórie grafov. Úlohy a algoritmy. Dosiahnuteľnosť. Optimálne sledy. Toky v sieťach. Stromy a kostry. Spárenia. Pochôdzky. Úloha čínskeho poštára. Úloha obchodného cestujúceho. Sieťová analýza.
Literatúra: J. Plesník, Grafové algoritmy. Veda, Bratislava 1983.

 

Kombinatorická topológia

Homotópia a jej vlastnopsti. Homotopická grupa. Veta Seifertova – van Kampenova. Výpočet najjednoduchších homotopických grúp. Brouwerova veta o pevnom bode. Nakrývajúci priestor a jeho homotopická grupa. Varieta, príklady. Klasifikácia dvojrozmerných kompaktných uzavretých variet.
Literatúra:
I.M. Singer a J.A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, Springer 1967.
A.Gramain, Topologie des surfaces, Paris 1971.

 

Konvexné mnohosteny

Platónske a archimedovské telesá. Eulerova veta a jej dôsledky. Steinitzova veta. Eberhardova veta a jej analógie. Vpísateľnosť mnohostenov do guľovej plochy. Kotzigova veta a jej rozšírenia. Kombinatorické vlastnosti mnohostenov. Viacrozmerné mnohosteny.
Literatúra:
P. R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge 1997.
E. Jucovič, Konvexné mnohosteny, Veda, Bratislava 1981.
G.M. Ziegler, Lectures on Polytopes. Springer-Verlag, Berlin 1995.

 

Lineárne a celočíselné programovanie

Geometrické vlastnosti  úlohy lineárneho programovania. Simplexová metóda. Dualita v lineárnom programovaní. Úloha celočíselného lineárneho programovania –  vzťah k jej relaxácii a metódy riešenia. Primárno-duálny algoritmus a jeho aplikácie na úlohy kombinatorickej optimalizácie
Literatúra:
C.H. Papadimitriou, K. Steiglitz: Combinatorial Optimization, Prentice Hall, 1984.
J. Plesník, J. Dupačová, M. Vlach: Lineárne programovanie, Alfa, Bratislava 1992.

 

Matematická štatistika

Bodové a intervalové odhady, vlastnosti odhadov, metóda maximálnej vierohodnosti, Raova-Cramérova nerovnosť. Testovanie štatistických hypotéz, základné parametrické a neparametrické testy. Testy dobrej zhody, základné testy v kontingenčných tabuľkách. Základné vlastnosti lineárneho modelu - odhadnuteľnosť, testy, konkrétne modely.
Literatúra: J. Anděl, Matematická statistika, SNTL/Alfa, Praha 1985.
F. Lamoš, R. Potocký, Pravdepodobnosť a matematická štatistika, Alfa, Bratislava 1989.

 

Nelineárne programovanie

Konvexné množiny a ich vlastnosti. Konvexné funkcie a ich vlastnosti, kritériá konvexnosti funkcie. Nutné a postačujúce podmienky optima, Kuhnova-Tuckerova teória. Dualita v nelineárnom programovaní. Kvadratické programovanie. Špeciálne metódy: lineárne a viacrozmerné prehľadávanie. Metódy bariérových a penalizačných funkcií.
Literatúra:
M. Hamala: Nelineárne programovanie, Alfa, Bratislava 1976.
M.S. Bazaraa, H.D. Sherali, C.M. Shetty, Nonlinear Programming: Theory and Algorithms, Wiley, New York 1993.

 

Okruhy a polia

Okruh, obor integrity, pole. Rád prvku, charakteristika oboru integrity. Podielové pole. Faktorové okruhy, ideály a homomorfizmy. Deliteľnosť v okruhoch. Euklidovské okruhy, okruhy hlavných ideálov, Gaussove okruhy.
Literatúra:
T. Katriňák a kol., Algebra a teoretická aritmetika 1, Alfa, Bratislava 1985.

 

Teória fraktálov

Intuitívny pojem samopodobnosti a rozmeru. Pojem fraktálu a jeho základné vlastnosti. Príklady fraktálov. Fraktál ako invariantná množina systému kontrakcií. Banachova veta o pevnom bode. Existencia invariantnej množiny a jej jednoznačnosť. Dôsledky pre konštrukciu fraktálov. Hausdorffov rozmer. Vzťah Hausdorffovho a podobnostného rozmeru. Dynamický systém. Atraktor ako fraktál. Juliove množiny, Mandelbrotova množina.
Literatúra:
G.A. Edgar, Measure, Topology, and Fractal Geometry, Springer 1990.
K. Falconer, Fractal Geometry, Wiley, New York 1990.

 

Teória hier

Extenzívny tvar hry, veta o hodnote hry. Maticové hry a metódy ich riešenia. Bimaticové hry. Teória vyjednávania. Hry n hráčov – jadro, Shapleyho hodnota, párovacie hry. Aplikácie teórie hier v ekonómii – modely oligopolu, modely aukcií, hry s nesymetrickou informáciou.
Literatúra: G. Owen,  Game Theory, Academic Press 1995  (existuje ruský preklad).
L.C. Thomas,  Games, Theory and Applications,  Wiley, New York 2003.
H.S. Bierman, L.Fernandez, Game Theory with Economic Applications, Addison-Wesley, 1998.
E. Rasmusen, Games and Information, Basil Blackwell, 1989.

Teória kódovania

Monoidy. Rozšíriteľnosť kódu na maximálny kód. Grupové kódy. Test na rozoznávanie kódov.  Bernoulliho distribúcia. Dyckov kód. Kompozícia kódov. Rozklad kódu na nerozložiteľné kódy.
Literatúra: J. Berstel, D. Perrin, Theory of Codes, Academic Press, 1985.

 

Teória pravdepodobnosti

Náhodné vektory, ich rozdelenie a charakteristiky. Niektoré špeciálne typy rozdelení pravdepodobnosti. Zákony veľkých čísel a centrálne limitné vety. Náhodné procesy – Poissonov a Markovov proces. Kolmogorovove diferenciálne rovnice.
Literatúra:
A. Rényi, Teorie pravděpodobnosti, Academia, Praha, 1972.
P. Mandl, Pravděpodobnostní dynamické modely, Academia, Praha, 1985.
F. Lamoš, R. Potocký, Pravdepodobnosť a matematická štatistika, Elfa, Bratislava, 1989.

 

Teória rozmeru

Pojem malého induktívneho rozmeru a jeho základné vlastnosti. Horné odhady rozmeru Euklidových priestorov. Vety o rozklade na 0-rozmerné podmnožiny. Pokrývajúci rozmer a základné vlastnosti. Vzťah induktívneho a pokrývajúceho rozmeru. Rozmer Euklidových priestorov.
Literatúra:
R. Engelking, Teoria wymiaru, Warszawa 1981 (existujú ďalšie vydania a   anglický preklad).
W. Hurewicz, H. Wallman, Dimension Theory, Princeton 1941.
P.S. Aleksandrov, B.A. Pasynkov, Vvedenije v teoriju razmernosti, Nauka, Moskva 1973.

 

Teória vyučovania matematiky

Predstavy pojmu číslo, využitie týchto predstáv pri zavedení pojmu zlomok. Didaktické postupy pri rozširovaní číselných množín. Fylogenéza a ontogenéza funkčného myslenia. Ontogenéza argumentácie. Zavedenie pojmu funkcia. Propedeutika derivácie a určitého integrálu. Prínos Pytagora a Euklida k rozvoju matematiky. Metodika planimetrie. Obsah a metodika stereometrie. Propedeutika analytickej geometrie. Koncepcia vyučovania analytickej geometrie. Vyučovanie trigonometrie a goniometrie. Vyučovanie kombinatoriky, pravdepodobnosti a štatistiky.
Literatúra: M. Hejný a kol. ,Teória vyučovania matematiky 2, SPN, Bratislava 1989.

 

Univerzálne algebry

Operácie, algebry. Homomorfizmy a kongruencie. Priame a polopriame  súčiny algebier. Vety o izomorfizmoch. Priame a polopriame rozklady. Operátory na triedach algebier. Triedy algebier a identity, variety algebier. Voľné algebry.
Literatúra:
M. Kolibiar a kol., Algebra a príbuzné disciplíny, Alfa, Bratislava 1991, časť C 1 a C 3.

 

Usporiadané množiny a zväzy

Čiastočne usporiadané množiny. Podmienky reťazcov. Princíp duality. Zväzy a úplné zväzy. Distributívne a modulárne zväzy. Podmienky o pokrývaní. Komplementárne zväzy, Booleove algebry. Algebraické zväzy, nekonečná distributívnosť. Vnáranie do úplných zväzov. Kongruencie na zväzoch.
Literatúra:
M. Kolibiar a kol., Algebra a príbuzné disciplíny, Alfa, Bratislava 1991, časť C2.

 

Vybrané partie z teórie množín

Viacej možností podľa dohovoru so skúšajúcim. Uvádzame dva príklady ponuky.
Nekonečná kombinatorika: Kardinálne charakteristiky podmnožín reálnej osi. Príbuzné kardinálne charakteristiky a vzťahy medzi nimi. Cichońov diagram. Dôsledky pre existenciu výnimočných množín.
Deskriptívna teória množín: Borelovská hierarchia množín, jej základné vlastnosti. Baireova hierarchia reálnych funkcií. Vzťah medzi hierarchiami. Projektívne množiny, základné vlastnosti.
Literatúra: podľa dohovoru.

 

Predmet: Ľubovoľný predmet odboru Informatika – určí predseda komisie podľa záujmu uchádzača a zamerania rigoróznej práce.
Obsah a literatúra: podľa výberu predmetu.