Úspešne ukončené projekty
Integrovanie v kontexte zovšeobecnených mier (InCoGeM)
- identifikátor projektu: APVV-16-0337
- doba riešenia projektu: 1.7.2017 - 30.6.2021
- vedúci projektu: Ondrej Hutník
- riešiteľský kolektív: Jana Borzová
Lenka Halčinová
Anton Hovana
Jozef Kiseľák
Zuzana Ontkovičová
Jaroslav Šupina
- anotácia projektu: Teória neaditívnych mier a integrálov je momentálne dôležitou súčasťou matematiky. Vznikla na základe praktických požiadaviek z okolitého sveta, ktorý sa obvykle nespráva aditívne. Projekt je venovaný niektorým aktuálnym aspektom budovania integrálov založených na nie nutne aditívnych mierach. Na jednej strane sa v projekte študujú integrály založené na klasickej level miere Borelovskej množiny, ktoré sú istými triedami súvisiacimi s kopulami a semikopulami a zahŕňajú známe neaditívne integrály Choqueta, Shilkreta a Sugena, ako aj mnohé ďalšie. Na strane druhej sa v projekte rozvíja koncept super level miery a integrálov založených na tomto koncepte, ktorý poskytuje silný nástroj pre riešenie problémov v harmonickej a časovo-frekvenčnej analýze.
Integrály vzhľadom na neaditívne miery a ich aplikácie
- identifikátor projektu: SK-PL-18-0032
- doba riešenia projektu: 1.1.2019 - 31.12.2020
- vedúci projektu: Ondrej Hutník
- riešiteľský kolektív: Lenka Halčinová
Anton Hovana
- anotácia projektu: Predložený bilaterálny projekt sa zaoberá rozvinutím prístupu k problémom integrovania a agregácie údajov v kontexte neaditívnych mier. Očakávanými výsledkami sú nutné a postačujúce podmienky pre platnosť niektorých nerovností pre neaditívne integrály, rozvinutie kalkulu pre niektoré triedy takýchto integrálov a zavedenie nových integrálov, ktoré by boli vhodné pri vyhodnocovaní scientometrických dát.
Integrovanie vzhľadom na super level miery a ich aplikácie
- identifikátor projektu: VVGS-2016-255
- doba riešenia projektu: 1.7.2016 - 31.12.2017
- vedúci projektu: Lenka Halčinová
- riešiteľský kolektív: Ľubomír Antoni
Lenka Halčinová
Jaroslav Šupina
- anotácia projektu: V rámci projektu budeme skúmať integrovanie merateľných funkcií vzhľadom na super level miery. Dôležitú úlohu pritom zohrávajú isté formy priemerov v literatúre označované ako "size". Ide pritom o nedávno zavedený koncept, ktorý sa ukazuje byť elegantným prostriedkom pre riešenie niektorých problémov komplexnej analýzy, keďže vhodne prepája teóriu časovo-frekvenčnej analýzy s teóriou Carlesonových mier. Určite sa dajú očakávať mnohé ďalšie prepojenia a aplikácie. Cieľom projektu je hlbšie preskúmať vlastnosti integrálov používaných na konštruovanie priestorov s vonkajšou mierou, pričom tieto integrály sú založené na super level mierach. Objasníme ich vzťah k známym konceptom integrálov vybudovaných pomocou level mier a budeme hľadať ich ďalšie možné aplikácie v rôznych oblastiach.
Topologizácia závislostných a agregačných štruktúr a jej aplikácie
- identifikátor projektu: APVV SK-AT-2015-0019
- doba riešenia projektu: 4.1.2016 - 29.12.2017
- vedúci projektu: Jozef Kiseľák
- riešiteľský kolektív: Ondrej Hutník
Jozef Kiseľák
Jaroslav Šupina
Lenka Halčinová
- anotácia projektu: V rámci projektu skúmame topologické agregácie a závislostné štruktúry v súvislosti náhodnými procesmi určujúcimi istý typ závislosti. Pritom sa uvažujú dva rôzne prístupy, ktoré sú však v skutočnosti netriviálne prepojené. Prvý z nich je z topologického hľadiska spojený s pojmom podobnosti a teda napr. fraktálnou štruktúrou, keďže v mnohých aplikáciách (rakovina, osteoporóza, modelovanie plôch, modelovanie reči, ...) závislosť súvisí viac s geometriou základného priestoru, na ktorom pracujeme, a tá je neeuklidovská. Druhý je tiež spájaný s podobnosťou a to podobnosti správania sa zobrazení, konkrétnejšie kovariančných funkcií. Príkladom je semispojitá kovariančná štruktúra, ktorá je vhodná v prípade nespojitých Gaussovských polí (procesov), pričom treba zdôrazniť, že semi-spojitosť je topologický pojem. Tieto procesy úzko súvisia so singulárnymi diferenciálnymi operátormi a to priamym spôsobom. Zdá sa, že existuje úzka súvislosť medzi procesmi s nespojitou kovariančnou štruktúrou a diferenciálnymi (pseudo-diferenciálnymi) operátormi.
Analýza časovo-frekvenčných Toeplitzových operátorov
- identifikátor projektu: VVGS-2014-182
- doba riešenia projektu: 1.1.2015 – 30.6.2016
- vedúci projektu: Anna Mišková
- riešiteľský kolektív: Jana Borzová
Lenka Halčinová
Anna Mišková
- anotácia projektu: Projekt je zameraný na aplikovanie techník komplexnej a harmonickej analýzy na štúdium objektov časovo-frekvenčnej analýzy. Ide hlavne o Toeplitzove lokalizačné operátory, vyskytujúce sa napr. v teórii informácie, v pravdepodobnosti, vo fyzike, či v štúdiu nestacionárnych signálov. Projekt rozvíja existujúce techniky funkcionálnej analýzy operátorového počtu a navrhuje nové postupy v oblasti topologických algebier, ktoré nemajú jednotku, ale pripúšťajú existenciu aproximatívnej jednotky. Sú v ňom tak skĺbené analytické a algebrické metódy k dosiahnutiu fundamentálnych štruktúrnych výsledkov o študovaných operátoroch a ich algebrách v nadväznosti na možné aplikácie týchto výsledkov v oblasti nestacionárnych signálov.
Úloha ideálov pri štúdiu reálnych čísel a funkcií z pohľadu teoreticko-množinovej topológie
- identifikátor projektu: VVGS-2014-176
- doba riešenia projektu: 1.1.2015 – 30.6.2016
- vedúci projektu: Jaroslav Šupina
- riešiteľský kolektív: Michal Dečo
Jaroslav Šupina
- anotácia projektu: V rámci projektu skúmame modifikácie niektorých tradičných pojmov, ako napríklad konvergencia funkcií a dominujúcosť podmnožín Baireovho priestoru, definovaných pôvodne pomocou ideálu konečných množín na prirodzených číslach. Spomínaná modifikácia spočíva v nahradení tohto ideálu ľubovoľným ideálom na prirodzených číslach. Takýto výskum dovoľuje abstraktnejší pohľad na vybrané klasické pojmy vrátane detailnejšej analýzy dôkazových prostriedkov.
Využitie kvalitatívnych vlastností riešení systémov diferenciálnych rovníc v teórii urnových procesov
- identifikátor projektu: VVGS-2013-105
- doba riešenia projektu: 1.7.2013 – 31.12.2014
- vedúci projektu: Jozef Kiseľák
- anotácia projektu: Projekt je orientovaný na prepojenie kvalitatívných vlastností riešení systémov obyčajných diferenciálnych rovníc a teórie urnových procesov. Projekt úzko prepája oblasti matematickej analýzy, teórie diferenciálnych rovníc a teórie stochastických procesov. Východiskom je známy fakt, že v prípade tzv. vyvážených procesov, riešenia asociovaných systémov diferenciaálnych rovníc tvoria vytvárajúce funkcie týchto náhodných procesov a tým pádom pravdepodobnostné rozdelnie stavov v urnách. Súčasný stav problematiky poukazuje na fakt, že dimenzia daného systému ako i vlastnosť vyváženosti výrazne ovplyvňujú obtiažnosť možnej analýzy procesu. Ďalším cieľom je študovanie rovníc pre procesy, ktoré nie sú vyvážené. Pre systémy, ktorých prvé integrály neviem nájsť, sa črtajú možnosti pomocou teórie perturbácií, analýzy singularít, alebo ich spojenia. V závislosti od výsledkov bude určite snaha nájsť odpovede aj na analogické otázky v prípade urnových procesov s náhodnými vstupmi.
Integrály založené na neaditívnych mierach
- identifikátor projektu: VVGS-PF-2013-115
- doba riešenia projektu: 1.4.2013 – 30.6.2014
- vedúci projektu: Jana Molnárová
- riešiteľský kolektív: Lenka Halčinová
Jana Molnárová
- anotácia projektu: Projekt je zameraný na skúmanie integrovania merateľných funkcií vzhľadom na neaditívne miery. V oblasti univerzálneho integrálu, ktorý je užitočným zovšeobecnením Choquetovho, Sugenovho a Shilkretovho integrálu, je projekt orientovaný na skúmanie konvergenčných vlastností a analýzu jeho ďalších univerzálnych vlastností. Ďalším zámerom je bližšie preskúmať konštrukciu a vlastnosti tzv. decomposition integrálu a jeho vzťah k vyššie spomínaným integrálom. V rámci skúmania pseudo-konkávnych a im podobných integrálov očakávame hlbšie pochopenie ich vlastností a správania sa.
Množinové funkcie a ich aplikácie
- identifikátor projektu: VVGS-PF-2012-36
- doba riešenia projektu: 1.4.2012 – 30.6.2013
- vedúci projektu: Lenka Halčinová
- riešiteľský kolektív: Ľubomír Antoni
Lenka Halčinová
Jana Molnárová
- anotácia projektu: V rámci projektu sa budú skúmať neaditívne množinové funkcie prevažne v pravdepodobnostných metrických priestoroch. Cieľom je hlbšie vyšetrovať pojem pravdepodobnostnej submiery definovaný v Mengerových pravdepodobnostných metrických priestoroch a jeho rozšírenie do všeobecnejších (ne-Mengerových) priestorov uvažovaním všeobecnejších agregačných funkcií namiesto triangulárnych noriem. Keďže triangulárne normy sú prirodzeným pojmom fuzzy logiky a teórie fuzzy množín, je možné uvažovať využitie a interpretáciu získaných výsledkov v tomto kontexte. Tiež budeme vyšetrovať fuzzy prístupy vo formálnej konceptovej analýze. Táto metóda analýzy viachodnotových dát bude použitá na vyhodnotenie reálnych sociálnych sietí. Na modelovanie skúmaných vlastností a vyhodnotenie výsledkov experimentu bude potrebné vyvinúť počítačové aplikácie.
Niektoré otázky funkcionálnej analýzy
- identifikátor projektu: VVGS 45/10-11
- doba riešenia projektu: 1.7.2010 - 31.12.2011
- vedúci projektu: Ondrej Hutník (od 1.7.2010 do 10.11.2010)
Jozef Haleš (od 10.11.2010)
- riešiteľský kolektív: Stanislava Andrejkovičová
Jozef Haleš
Ondrej Hutník
Ivan Mojsej
Jaroslav Šupina
- anotácia projektu: V rámci projektu sa budú riešiť niektoré otázky funkcionálnej analýzy. Pôjde o vyšetrovanie vzťahu topologických vlastností niektorých priestorov a konvergencie spojitých a polo- spojitých reálnych funkcií, skúmanie oscilatorických a asymptotických vlastností niektorých typov diferenciálnych rovníc a systémov s využitím kvázi-diferenciálnych operátorov. V oblasti vektorového integrovania hlbšie študovať zovšeobecnený Dobrakovov integrál s možnosťou jeho použitia na Toeplitzove a príbuzné (hlavne lokalizačné) operátory.