Pre študentov


Táto časť slúži študentom, ktorí majú záujem robiť bakalárske, diplomové, či záverečné práce z analýzy u pracovníkov Oddelenia matematickej analýzy. Je tu možné nájsť zoznam vypísaných záverečných prác so stručnou charakteristikou a požiadavkami vyučujúceho. Kvôli lepšej zorientovanosti sa záujemcov uvádzame tiež abstrakty ukončených (obhájených) prác pod vedením členov oddelenia z obdobia posledných pár rokov. Okrem vypísaných tém tu budú priebežne aktualizované aj zaujímavé problémiky a námety, z ktorých sa v prípade záujmu môže stať vypísaná téma záverečnej práce pre konkrétneho záujemcu. V prípade záujmu je ideálne kontaktovať príslušného vyučujúceho (mailom, osobne), ktorý danú tému ponúka. Po dohode je možné vypísať aj prácu na inú (rozumnú) tému.


Ponúkané témy bakalárskych prác (pre rok 2023/2024)



Vypísané témy dizertačných prác (pre rok 2023/2024)

  • Funkcie zachovávajúce metriku a ich aplikácie (prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc.)
  • Diferenciálne rovnice riadené mierami (doc. Mgr. Jozef Kiseľák, PhD.)


Niekoľko ďalších námetov na záverečné práce



Abstrakty záverečných prác (za posledných 5 rokov)

Bálintová, A.: Pseudo-inverzná funkcia.
Bakalárska práca, Košice, 2023 (RNDr. Lenka Halčinová, PhD.)
Inverzná funkcia je štandardný pojem v matematike. Využíva sa pri riešení rôznych rovníc a nerovníc a je súčasťou aj bežného života. Nájdu sa však oblasti matematiky ako je štatistika alebo fuzzy logika, kde si s inverznou funkciou nevystačíme a potrebujeme jej zovšeobecnenia. V práci sa venujeme tzv. pseudo-inverznej funkcii, ktorej špeciálnym prípadom sú aj kvantilové funkcie známe zo štatistiky. Študujeme jej vlastnosti, ktoré ilustrujeme na konkrétnych príkladoch.

Bajtoš, D.: Hermiteova-Hadamardova nerovnosť pre Sugenov integrál.
Diplomová práca, Košice, 2024 (RNDr. Lenka Halčinová, PhD.)
Hermiteova-Hadamardova nerovnosť je typom integrálnej nerovnosti, ktorá bola pôvodne odvodená na odhad Riemannovho integrálu konvexných funkcií. V tejto diplomovej práci sa zaoberáme jej zovšeobecneniami pre Sugenov a seminormovaný integrál. Nadväzujeme na výsledky z bakalárskej práce a rozširujeme ich o nové výsledky. Ide najmä o výsledky týkajúce sa (M?, M?)-konvexných funkcií. Poukazujeme na známy výsledok ohraničenia Sugenovho integrálu obdobnou verziou Hermiteovej-Hadamardovej nerovnosti. Dané ohraničenie vylepšujeme a formulujeme výsledky pre podtriedu (M?, M?)-konvexných funkcií, konkrétne r-konvexné funkcie. Výsledky dopĺňame nami vytvorenými príkladmi. Taktiež sa venujeme analogickým výsledkom, avšak pre seminormovaný integrál. Keďže v oboch prípadoch ide o neaditívne integrály, krátko venujeme pozornosť aj konceptom ako monotónna miera, dekumulatívna distribučná funkcia a semikopula, ktoré s nimi súvisia.

Basarik, S.: Choquetov integrál založený na super level miere.
Diplomová práca, Košice, 2020 (RNDr. Lenka Halčinová, PhD.)
V tejto práci sa zaoberáme jedným typom zovšeobecnenia Choquetovho integrálu, ktorý súvisí s tzv. super level mierou. V práci študujeme jej vlastnosti, vzťah so štandardnou level mierou a pojmy, ktoré s ňou bezprostredne súvisia, koncept sizeu, vonkajšieho esenciálneho suprema. Okrem už známych výsledkov¨formulujeme aj nové výsledky. V nadväznosti na to sa zaoberáme aj vzťahom medzi zovšeobecneným Choquetovým integrálom a štandardným Choquetovým integrálom, tiež sa venujeme ich vlastnostiam. Aplikovateľnosťou týchto integrálov sa zaoberáme v súvislosti s rozhodovacími procesmi, kde ich uvažujeme ako agregačné funkcie. Prácu s uvedenými integrálmi zjednodušuje aplikácia, ktorú sme vytvorili a možno ju nájsť v prílohe tejto práce.

Beňová, D.: Reprezentácie Choquetovho integrálu pomocou báz a transformácií.
Bakalárska práca, Košice, 2024 (prof. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
V práci sa venujeme teoretickému štúdiu Choquetovho integrálu ako agregačnému operátoru, ktorý býva vhodným nástrojom pri riešení niektorých úloh zasadených do kontextu nie nutne aditívnych mier. Okrem dobre známej reprezentácie Choquetovho integrálu pomocou Mobiovej transformácie (súvisiacej s množinovými funkciami známymi ako unanimity) sa v poslednom období v literatúre objavili reprezentácie Choquetovho integrálu pomocou ďalších transformácií a im prislúchajúcich báz. Väčšina z týchto reprezentácií však nie je úplne korektná. Na~základe výsledkov aktuálneho článku, ktoré poukazujú na nezrovnalosti v dostupnej literatúre a korigujú formuly pre výpočet Choquetovho integrálu prostredníctvom Fourierovej a Shapleyho transformácie, pokračujeme v tejto práci v získavaní nových reprezentácií Choquetovho integrálu vzhľadom na prislúchajúcu bázu. V rovnakom zmysle sme pokračovali a získali tak správne formuly pre vyjadrenie Choquetovho integrálu prostredníctvom ďalších transformácií a báz (napr. Banzhafova, Walshova, Hadamardova a Yokoteova). Počas toho poukážeme na niektoré ďalšie nezrovnalosti a možnosti ich skorigovania.

Brettschneiderová, B.: Miera a integrál v scientometrii.
Diplomová práca, Košice, 2021 (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
Hirschov index, ako populárny scientometrický údaj, bol zavedený na evaluáciu vedeckých výstupov prominentných fyzikov. Od svojho zavedenia v roku 2005 začal byť postupne dominantný na poli scientometrie až do dnešných čias, keď sa aplikuje v takmer všetkých akademických oblastiach. Relatívne rýchlo si matematici uvedomili, že Hirschov index je špeciálny prípad Sugenovho integrálu vzhľadom na počítaciu mieru. Tento pohľad nám umožňuje využívať techniky neaditívnych mier a integrálov v snahe kompenzovať niektoré nedostatky Hirschovho indexu. V práci sa zaoberáme niekoľkými zovšeobecneniami Hirschovho indexu prostredníctvom adaptívneho kognitívneho integrálu a jeho modikácie po vzore vlastnosti Hirschovho indexu a jeho reprezentácie pomocou Sugenovho integrálu. Ukážeme súvis týchto indexov s existujúcimi indexami z literatúry. Druhá časť práce popisuje myšlienku rozšírenia Hirschovho indexu prostredníctvom zovšeobecnených level mier, ktoré súvisia s aktuálnym výskumom podmieneného agregovania.

Budjač, M.: Majorizovanie konvergentných radov.
Bakalárska práca, Košice, 2024 (RNDr. Jaroslav Šupina, PhD.)
Táto bakalárska práca dokazuje slabšiu verziu Bartoszyńského vety používajúc metódy matematickej analýzy. Práca má 2 kapitoly. V prvej kapitole zavedieme terminológiu a potrebné teoretické základy. V druhej kapitole predstavíme problém hľadania absolútne konvergentného radu, ktorý by bol majorantný k iným absolútne konvergentným radom. Dokážeme vety o takých radoch a ukážeme, ako to súvisí s Bartoszyńského vetou.

Budzáková, I.: Kvázidiferenciálny počet.
Diplomová práca, Košice, 2022 (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
Kváziderivácia funkcie f v bode vzhľadom na funkciu v (nie nutne identitu) je definovaná ako limita podielu prírastku funkcie f a prírastku funkcie v. V závislosti na voľbe tejto referenčnej funkcie v skúmame v práci vlastnosti študovanej funkcie f a poskytujeme príslušný kvázidiferenciálny počet. Ukážeme súvislosť kváziderivácie funkcie a Riemannovho-Stieltjesovho integrálu, pre ktorý dokážeme niekoľko nových spôsobov výpočtu. Pomocou kváziderivácie popíšeme derivácie funkcie danej parametricky. Zavedený koncept je vhodný na charakterizovanie singulárneho správania nediferencovateľných funkcií.

Cisko, M.: Matematický koncept v teórii pórovitých prostredí.
Diplomová práca, Košice, 2023 (doc. Mgr. Jozef Kiseľák, PhD.)
V tejto práci sa budeme venovať definícii pórovitosti množín. V teoretickej časti práce sa budeme venovať existujúcim prístupom ku pórovitosti. Priblížime si nematematické prístupy, ukážeme si ich vlastnosti a nedostatky. Ďalej si rozoberieme základné teoretické poznatky potrebné na pochopenie práce, ako teória miery, Lebesgueova miera, kľukatosť kriviek a podobne. Takisto sa pozrieme na známy matematický prístup ku pórovitosti, povieme si prečo sa uvažuje táto vlastnosť množín a tiež si ukážeme prečo je nepostačujúci. Túto časť, pre lepšie pochopenie definovaných pojmov, doplníme o vlastné ilustrácie. V hlavnej časti vyslovíme vlastnú definíciu pórovitosti množín, ktorá v sebe spojí matematický prístup s praktickým pohľadom a využitím. Vyslovíme a dokážeme dôležité vlastnosti pórovitosti a na praktických príkladoch si ukážeme vhodnosť použitia tejto definície. Výpočty podporíme vlastnými ilustráciami a grafmi vytvorenými v prostredí Maple.

Dovalovský, P.: Raabeho kritériá konvergencie radov.
Bakalárska práca, Košice, 2023 (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
Raabeho kritérium konvergencie nekonečných číselných radov býva najčastejšie používané v prípadoch, keď d’Alembertovo podielové kritérium zlyhá. V literatúre sa však môžeme stretnúť s niekoľkými verziami tohto kritéria, ktoré (ako je známe) nie sú navzájom ekvivalentné. V predloženej práci uvedieme všetky dostupné verzie, podáme na sebe nezávislé dôkazy jednotlivých verzií a zaoberáme sa ich použiteľnosťou v jednotlivých príkladoch. Špeciálnu pozornosť venujeme Jametovým verziám Raabeho kritéria a ukážeme, že sú všetky navzájom ekvivalentné. Ukážeme aj niektoré vzt’ahy medzi Jametovou verziou a ostatnými verziami Raabeho kritéria.

Dvorčáková, Z.: Afínny EP(n) model bez arbitráže.
Diplomová práca, Košice, 2023 (doc. Mgr. Jozef Kiseľák, PhD.)
Práca sa zaoberá modelovaním výnosových kriviek. Spája a rozširuje dva doposiaľ známe modely. Ide o bezarbitrážny Nelsonov-Siegelov model a exponenciálno-polynomiálny model, v skratke EPM($n$), kde $n$ označuje stupeň polynómu. Nelsonov-Siegelov model je vlastne EPM($1$). Cieľom práce je rozšíriť EPM($n$) o stochastickú a bezarbitrážnu časť a následne nájsť optimálny stupeň polynómu pre takto navrhnutý model. Modelovanie je uskutočnené na výnosoch bezkupónových dlhopisov dvoch krajín, a to Slovenskej republiky a Rakúska. Porovnávanie modelov je uskutočnené v softvéri \texttt{R}, pričom odhad parametrov je realizovaný pomocou Kalmanovho filtra.

Gaboda, L.: Metódy hranovej detekcie obrazu.
Bakalárska práca, Košice, 2023 (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
Predmetom práce je detekcia hrán digitálneho obrazu. Ide o študovanú oblasť spracovania obrazu, najmä kvôli svojim aplikáciám. Zhŕňame známe metódy detekcie hrán, pričom ich súčasne kategorizujeme podľa spôsobu prístupu k detekcii. Obzvlášť je venovaná pozornosť matematickému pozadiu týchto metód, ktoré je v mnohých zdrojoch zaoberajúcich sa detekciou hrán zamlčané. Poukazujeme aj na metódy, ktoré sú v literatúre menej dostupné. Porovnávame výhody a nevýhody jednotlivých metód a výsledky ilustrujeme na reálnych príkladoch. Vzhľadom na nedávnu prácu Neuro-inspired edge feature fusion using Choquet integrals popíšeme fuzzy prístup detekcie hrán pomocou Choquetovho integrálu. Cieľom našej práce je taktiež priblížiť najdôležitejšie vedecké pokroky v oblasti detekcie hrán.

Goliašová, S.: Modelovanie tónových systémov: fuzzy prístup.
Bakalárska práca, Košice, 2024 (prof. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
Modelovanie tónov ako fuzzy množín a prislúchajúce rozšírenie konceptu tónových systémov týmto smerom umožňuje lepšie prepojiť teóriu a prax a pochopiť, ako hudobníci fungujú v reálnom živote. Tóny produkované hudobníkom počas vystúpenia by mali byť kompatibilné s tými teoretickými, ale nemusia byť nutne rovnaké. To je podstatou konceptu kompatibility tónových systémov, ktorá umožňuje spomínanú zameniteľnosť tónov jedného tónového systému blízkymi tónmi druhého tónového systému. Tento koncept rozvíjame v prípade výšky tónu ako jednorozmerného objektu modelovaného pomocou trojuholníkového fuzzy čísla, ako aj viacrozmerného, kde vstupujú do hry ďalšie fyzikálne, resp. psychologické atribúty tónu. Uvádzame niekoľko kritérií, kedy sú fuzzy tóny a fuzzy tónové systémy zameniteľné bez veľkého vplyvu na výsledok a aplikujeme túto teóriu na tri základné tónové systémy: pytagorejský, 12-tónový rovnomerný temperament a čisté ladenie.

Harajda, G.: Kritériá konvergencie nevlastných integrálov.
Bakalárska práca, Košice, 2021 (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
V tejto práci sa zaoberáme kritériami konvergencie nevlastných Riemannových integrálov. Jeho zavedenie robíme pomocou lokálnej integrovateľnosti funkcie, aby sme zahrnuli všetky prípady neohraničenej funkcie a integrálu na neohraničenom intervale. V práci najprv sumarizujeme známe kritériá konvergencie, ktoré demonštrujeme na niekoľkých príkladoch. V druhej časti sa zameriavame na nájdenie spojitej analógie ďalších kritérií známych pre nekonečné číselné rady. Tie zahŕňajú rozličné limitné kritériá a kritériá súčinového typu, pri ktorých uvedieme nové dôkazy a nové postačujúce podmienky prostredníctvom variácie funkcie.

Hockicková, J.: Dimenzie v matematike.
Bakalárska práca, Košice, 2023 (RNDr. Jaroslav Šupina, PhD.)
Táto bakalárska práca sa venuje laickému pohľadu na pojem ,,dimenzia``, jeho historickému vývoju a najmä však exaktnému definovaniu dimenzie v rôznych matematických disciplínach.

Hurajová, K.: Geometrizácia akordických priestorov.
Diplomová práca, Košice, 2022 (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
Hudba sa dá reprezentovať postupnosťou akordov. Prechod medzi jednotlivými akordmi má prirodzene veľký význam vzhľadom na vyvolané hudobné napätie alebo vytvorenú kadenciu. V práci predstavujeme niekoľko návrhov na porovnanie dvoch akordov rovnakej, ako aj rozličnej kardinality a výpočet ich vzdialeností v prislúchajúcich akordických priestoroch, ktoré slúžia na meranie prechodov medzi jednotlivými akordmi. Tieto percepčné vzdialenosti nie sú vzdialenosťami z matematického hľadiska, pretože vo všeobecnosti nespĺňajú trojuholníkovú nerovnosť. Uvedieme podmienky, za ktorých zavedené hudobné vzdialenosti sú metrikami v priestore všetkých akordov, ktorý je zjednotením všetkých akordických priestorov, t.j. ľubovoľných viaczvukov pozostávajúcich z tónov 12-tónového rovnomerne temperovaného tónového systému.

Jacková, M.: Matematické úlohy v chémii.
Bakalárska práca, Košice, 2021 (RNDr. Lenka Halčinová, PhD.)
Matematika sa ako veda objavuje v mnohých oblastiach a výnimkou nie je ani chémia. Táto bakalárska práca sa zaoberá problematikou, riešením a spracovávaním matematických úloh s chemickým kontextom, ktoré môžu poslúžiť pri výučbe vysokoškolskej matematiky pre chemikov. Práca obsahuje súbor príkladov, na ktorých riešenie je aplikovaný matematický aparát rôznej úrovne. Naformulované príklady sú obsahovo blízke študentom chémie a ich vzorové riešenia sú napísané s dôrazom na zrozumiteľnosť a jednoznačnosť. V práci sú spracované zadania pozostávajúce z chemických zákonitostí, s ktorými sa chemik stretáva počas štúdia, ale aj zadania, s ktorými sa priamo na hodinách nestretne, no svojím chemických obsahom môžu pomôcť vyučujúcim matematiky dosiahnuť väčšiu motiváciu študentov pri precvičovaní matematického aparátu.

Jurišin, J.: Funkcie zachovávajúce metriku a ich aplikácie.
Diplomová práca, Košice, 2023 (prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc.)
Táto práca sa zaoberá štúdiom funkcií zachovávajúcich metriku a semimetriky. V prvej časti práce si povieme, čo sú to funkcie zachovávajúce metriku a rozšírime tento pojem na semimetriky. Taktiež si uvedieme niektoré užitočné vlastnosti týchto funkcií, ktoré budeme neskôr potrebovať. V druhej časti sa venujeme otázke uzavretosti funkcií zachovávajúcich semimetriky vzhľadom na operáciu infimálnej konvolúcie. V poslednej kapitole sme sa zaoberali pasting lemami pre funkcie zachovávajúce semimetriky. V našej práci sa nám podarilo vyšetriť uzavretosť na infimálnu konvolúciu väčšiny tried funkcií zachovávajúcich semimetriky, ktorými sme sa v minulosti zaoberali. Zosumarizovali sme existujúce pasting lemy, vylepšili niektoré z nich a dokázali niekoľko nových. Okrem toho sme objasnili vzťahy medzi niektorými funkciami zachovávajúcimi semimetriky a ukázali sme nové nutné a postačujúce podmienky pre zachovávanie silnej b-metriky.

Kaňuková, K.: Pracovné listy z matematiky s využitím obsahu vzdelávania predmetu biológia pre 2. stupeň ZŠ.
Bakalárska práca, Košice, 2023 (RNDr. Jana Borzová, PhD.)
V práci vyzdvihujeme prelínanie prírodovedných predmetov matematiky a biológie na 2. stupni základných škôl. Realizácia úmyslu hlbšieho a intenzívnejšieho hľadania a objavovania tajov a krás matematiky pomocou ďalšieho prírodovedného predmetu biológie, je uskutočňovaná prostredníctvom učebných didaktických prostriedkov - pracovných listov, konštituovaných pre jednotlivé ročníky 2. stupňa základných škôl. Práca je rozdelená do dvoch častí - teoretickej a praktickej. Teoretická časť objasňuje abstraktnejší teoretický základ prostredníctvom odbornej literatúry a informačných zdrojov. Praktická časť je tvorená konkrétnymi pracovnými listami z matematiky pre jednotlivé ročníky, ktoré nami zvolené tematické celky prepájajú s obsahom vzdelávania predmetu biológia. Naším cieľom je poukázať na možnosti prepájania poznatkov aj uplatňovania medzipredmetových vzťahov týchto prírodovedných predmetov.

Kepeňová, P.: Lineárna regresia v úlohách z chémie.
Bakalárska práca, Košice, 2024 (doc. Mgr. Jozef Kiseľák, PhD.)
V tejto práci sú popísane a vysvetlené základné pojmy v oblasti lineárnej regresie a jej využitie v chémii. V práci je popísaných 8 príkladov, pre ktoré boli vypočítané koeficienty k a q pre metódu OLS a Demingovu metódu. V prípade rozdielnych koeficientov bola vhodnosť použitej metódy určená koeficientom determinácie. Pre posledný popísaný príklad bola študovaná vhodnosť použitia OLS, Demingovej, Theil-Sen a Passing-Bablok metódy. Najmenej vhodnou metódou bola Theil-Sen regresia. Práca ponúka matematický základ metód lineárnej regresie pre študentov chémie.

Kleinová, M.: Diskrétne univerzálne integrály.
Diplomová práca, Košice, 2020 (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
Cieľom našej diplomovej práce je popísať rôzne prístupy k integrovaniu na konečnej základnej množine vzhľadom na kapacity. Zaoberáme sa troma triedami integrálov, ktoré rôznym spôsobom zovšeobecňujú dva najznámejšie neaditívne integrály: Choquetov a Sugenov integrál. Prvá trieda integrálov je založená na pojme binárna kopula, a preto sa táto trieda nazýva kopulové integrály. Obsahuje v sebe tak Choquetov ako aj Sugenov integrál. Zovšeobecnením kopuly je agregačná funkcia známa ako semikopula. Koncept integrálu založeného na semikopule, tzv. seminormovaný integrál, v sebe zahŕňa Sugenov a Shilkretov integrál. Treťou triedou integrálov opäť obsahujúcou Sugenov a Shilkretov integrál je nedávno zavedený kognitívny integrál. Kým všetky integrály z prvých dvoch tried sú tzv. univerzálnymi integrálmi, kognitívne integrály vo všeobecnosti nie sú univerzálne. V každom prípade študujeme základné vlastnosti integrálov v danej triede, charakterizujeme niektoré integrály a predstavíme ich axiomatickú charakterizáciu.

Košárová, L.: Diagram s troma reálnymi osami ako nástroj na rozvíjanie predstáv o koncepte zloženej funkcie u študentov.
Diplomová práca, Košice, 2022 (RNDr. Jaroslav Šupina, PhD.)
Práca sa zaoberá zloženou funkciou v matematike so zameraním na jej výskyt v učive základných univerzitných kurzov matematickej analýzy. V prvej časti sumarizuje didaktickú literatúru venujúcu sa skladaniu funkcií. Druhou nosnou myšlienkou práce je použitie diagramu s troma reálnymi osami ako nástroja na narábanie so zloženou funkciou. V praktickej časti práce sme sa pokúsili navrhnúť, ako tento nástroj zapojiť do vyučovania vybraných učebných celkov základných kurzov matematickej analýzy. Pripravili sme niekoľko učebných materiálov statického alebo dynamického charakteru pre samoštúdium, ktoré sú založené na diagrame s troma reálnymi osami.

Legátová, Z.: Zovšeobecnené Choquetove integrály, ich porovnanie a aplikácia.
Diplomová práca, Košice, 2024 (RNDr. Lenka Halčinová, PhD.)
V každodennom živote sa stretávame s množstvom situácií, ktoré nevykazujú aditívne správanie. V ekonomike, rozhodovacích procesoch a mnohých ďalších oblastiach sa často vyskytujú takéto javy. Na ich opis je preto potrebné použiť netradičné metódy, jednou z nich je Choquetov integrál. V práci sa zaoberáme využitím Choquetovho integrálu a jeho zovšeobecnení v hranovej detekcii. Porovnávame dva typy zovšeobecnených operátorov Choquetovho typu z teoretického hľadiska a v experimente. V teoretickej časti skúmame podmienky, za ktorých sa oba operátory rovnajú. V praktickej časti prejdeme na kvantitatívne porovnanie operátorov zavedených v práci v aplikácii pre hranovú detekciu.

Maďarová, A.: Vyučovacie hodiny založené na online zdrojoch.
Diplomová práca, Košice, 2023 (RNDr. Jaroslav Šupina, PhD.)
Cieľom tejto práce je poskytnúť prehľad pohľadov na vyučovacie hodiny založené na online zdrojoch v dostupnej literatúre a predstaviť niekoľko metodík vyučovacích hodín založených na online zdrojoch. Práca je rozdelená na dve časti. Prvá časť je teoretická a druhá praktická. V teoretickej časti, prvá kapitola poskytuje prehľad literatúry zaoberajúcej sa využitím internetu na vyučovaní. Druhá kapitola popisuje projekty Európskej únie zmerané na rozvoj digitálnych kompetencií. V tretej kapitole je pojem hodín založených na online zdrojoch analyzovaný jeho porovnaním s inými vyučovacími prístupmi, ktoré tiež využívajú online zdroje. Praktická časť zahŕňa tri metodiky k hodinám založených na online zdrojoch. Metodiky sú zamerané na témy, ktorými sú riešenie kvadratických nerovníc grafickou metódou, logaritmická funkcia a mierka mapy. Kapitola popisuje metodiky z pohľadu ich tvorby, priebehu hodiny a didaktickej analýzy. Implementácia a vyhodnotenie sú taktiež súčasťou kapitoly, keďže dve metodiky – logaritmická funkcia a mierka mapy, boli odučené.

Majdáková, T.: Bazilejský problém.
Bakalárska práca, Košice, 2024 (prof. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
Bazilejský problém bol spomenutý prvýkrát v roku 1650 a zostal otvorený takmer 90 rokov, kým ho nevyriešil Leonhard Euler a rozvíril hladinu v matematickej komunite. Počas svojho života Euler podal celkovo tri rozličné riešenia tohto problému, ktorý sa pýta na presnú hodnotu súčtu nekonečného radu zeta(2). Odvtedy ľudia neustále hľadajú nové a zaujímavé riešenia toho istého problému. V~tejto práci zosumarizujeme rozličné prístupy k riešeniu Bazilejského problému, ktoré sú založené na použití techník reálnej analýzy: elementárne odhady, jednoduché a dvojné integrály, použitie diferenciálneho počtu, Feynmanovo integrovanie, atď. Väčšina z celkového počtu viac ako 30 dôkazov budú dôkazy objavujúce sa v odbornej literatúre v 21. storočí. Uvedieme tiež niekoľko vlastných modifikácií existujúcich dôkazov, resp. nových dôkazov, ktoré sme v literatúre nenašli.

Maňkoš, D.: Počítanie s Diracovou delta funkciou.
Bakalárska práca, Košice, 2024 (doc. Mgr. Jozef Kiseľák, PhD.)
Táto bakalárska práca poskytuje detailný pohľad na Diracovu delta funkciu pomocou matematických nástrojov, ktoré sa študujú na bakalárskom stupni v odboroch spojených s matematikou. Cieľom práce je nielen poskytnúť formálne exaktnú definíciu Diracovej delta funkcie, ale aj demonštrovať jej vlastnosti a využitie v rôznych vedných oblastiach. Práca začína prehľadom histórie, matematických koncepcií súvisiacich s Diracovou delta funkciou a motiváciou pre jej zavedenie. Následne sa venuje formálnej definícii tejto funkcie pomocou delta konvergentných postupností a dôkazom jej vlastností. Okrem toho táto práca demonštruje praktické príklady využitia Diracovej delta funkcie v rôznych vedných oblastiach, ako sú fyzika, matematická štatistika či teória pravdepodobnosti. Výsledkom je komplexný pohľad na tento matematický objekt a jeho aplikácie, čo môže poslúžiť ako užitočný zdroj alebo učebný materiál pre študentov viacerých študijných odborov.

Marton, A.: Ideál na prirodzených číslach a konvergencia funkcií.
Diplomová práca, Košice, 2020 (RNDr. Jaroslav Šupina, PhD.)
Jednou z možností, ako charakterizovať „malé“ podmnožiny základnej množiny, je využitie pojmu ideálu. Tento koncept viedol k prirodzenému rozšíreniu definícií rôznych typov konvergencií. V tejto práci sa zameriavame na rozličné typy ideálových konvergencií postupností funkcií. Študujeme a sumarizujeme tieto typy konvergencií, ako aj prirodzené vzťahy medzi nimi. Ďalej podávame prehľadný zoznam kontrapríkladov, ktoré dokazujú, že zoznam uvedených prirodzených vzťahov je úplný a nedá sa bez dodatočných predpokladov rozšíriť. Analyzujeme tiež vzťah medzi Katětovým usporiadaním a ideálovou konvergenciou postupností funkcií. Jednou z hlavných tém, na ktorú sa zameriavame, je kombinatorická vlastnosť P(J) – prirodzená ideálová modifikácia definície P-ideálov, veľmi úzko prepojená s niektorými typmi ideálovej konvergencie. Okrem všeobecného skúmania tohto pojmu tiež objasňujeme, ktoré dvojice často používaných kritických ideálov na karteziánskom súčine prirodzených čísel sú v tomto vzťahu.

Maťašová, A.: Vybrané stratégie rozhodovania za neurčitosti.
Bakalárska práca, Košice, 2024 (RNDr. Lenka Halčinová, PhD.)
Rozhodovacie procesy sú súčasťou života všetkých nás. Rozhodujeme sa nielen my ako jednotlivci, ale rozhodovaniu musia čeliť aj firmy a korporáty. Ich rozhodnutia neovplyvňujú len ich životy, ale aj životy iných ľudí. Práve preto je výber rozhodnutia dôležitý. Významnou časťou rozhodovacích procesov sú hry proti prírode. Ide o hru dvoch hráčov, v ktorej má každý hráč konečný počet možností rozhodnúť sa. Jedným účastníkom tejto hry je rozhodovateľ, druhým príroda. Rozhodovateľ sa rozhoduje na základe množstva informácií, ktoré má o prírode, t.j. o potenciálnych budúcich scenároch, vývoji na trhu. V tejto práci sa zaoberáme vybranými kritériami pri takomto type rozhodovacích procesoch. Každé z nich je založené na inom princípe, čo môže viesť k rôznym odporúčaniam pre rozhodnutie. V práci uvádzame aj axiómy popisujúce "očakávané" alebo "rozumné" vlastnosti "dobrého" kritéria, ktoré sa doteraz v literatúre nachádzali popísané slovne.

Melicherová, P.: Funkcia reálnej premennej v kontexte úloh z reálneho sveta.
Bakalárska práca, Košice, 2022 (RNDr. Lenka Halčinová, PhD.)
Žijeme v záhadnom svete popretkávanom svojimi tajomstvami, ktoré my ako ľudstvo čoraz viac objavujeme a spoznávame. To najkrajšie na všetkých prírodných vedách je ich jeden spoločný jazyk, ktorým je matematika. Mnohí sa nazdávajú, že matematika je len o číslach. Nie je to však pravda. Matematika nám dáva možnosť určitým aparátom jednoducho opísať svet a jeho zákonitosti. Aj napriek tomu, že všade okolo nás prehovára, častokrát jej vôbec nerozumieme. Nevenujeme jej dostatočnú pozornosť, pričom porozumenie tomuto jazyku by nám vedelo pomôcť zjednodušiť všedný život. Veľa študentov má najväčší problém a strach práve z tohto predmetu. Snahou celej tejto práce je poukázať na matematiku ako na multifunkčný nástroj na opis každodenných situácií. Samotná bakalárska práca obsahuje zozbierané príklady z rôznych oblastí reálneho života. Venovali sme sa ich dôkladným riešeniam, pričom čitateľ má možnosť sa oboznámiť aj so súvisiacimi matematickými pojmami. Všetky príklady z tejto práce môžu byť použité ako učebný materiál pre predmet Funkcia reálnej premennej.

Pastula, B.: De Finetiho veta a strojové učenie.
Bakalárska práca, Košice, 2023 (doc. Mgr. Jozef Kiseľák, PhD.)
Cieľom práce je popísať de Finettiho vetu, jej interpretáciu, dôsledky, súvisiace pojmy a model BRUNO ako jej aplikáciu v strojovom učení. Pri príklade jednoduchého Bernoulliho procesu sme sa najprv zamerali na isté ťažkosti spojené s definíciou pravdepodobnostného priestoru pre nekonečnú postupnosť náhodných veličín. Prostredníctvom príkladov sme rozobrali rozdiely medzi 4 typmi konvergencie náhodných veličín, nakoľko jeden z nich sa spomína v de Finettiho vete. Ako ďalší súvisiaci pojem sme definovali zameniteľnú postupnosť, na príkladoch sme ilustrovali jej vlastnosti aj verziu vety pre binárne a spojité náhodné veličiny. Venovali sme sa aj jej dôsledkom - modifikáciám vety pre konečnú zameniteľnú postupnosť. Popísali sme model BRUNO a vytvorili sme Jupyter Notebook, po ktorého spustení je možné použiť originálny balík k modelu BRUNO, čo nebolo jednoduché, a preto je to veľmi významný výsledok tejto práce pre prax. Potom sme testovali, ako úspešný je model pri detekcii anomálií v postupnosti textúr. Nakoniec sme v modeli modifikovali výpočet stupňa voľnosti prediktívneho rozdelenia pravdepodobnosti pre ďalší člen postupnosti a skúmali sme dôsledky tejto zmeny.

Puškárová, N.: Choquetov integrál založený na sublineárnych priemeroch.
Bakalárska práca, Košice, 2023 (RNDr. Lenka Halčinová, PhD.)
Rozhodovacie procesy sú súčasťou života každého z nás. Ich modelovanie si v matematike vyžaduje špeciálne prístupy. Významnou agregačnou funkciou, ktorá sa v rozhodovacích procesoch používa je Choquetov integrál, ktorý umožňuje modelovať interakcie medzi kritériami. Ide o agregáciu, ktorá je založená na neaditívnych monotónnych mierach a má viacero zovšeobecnení. My sa v tejto práci venujeme Choquetovmu integrálu založenému na sublineárnych priemeroch. Už samotné sublineárne priemery sú zaujímavé triedy zobrazení, keďže okrem vstupných hodnôt závisia aj od množín, a preto ich v práci bližšie popisujeme, uvádzame niekoľko konkrétnych príkladov. V práci uvádzame niekoľko vlastností Choquetovho integrálu založeného na sublineárnych priemeroch, ktoré sa doteraz v literatúre nenachádzali.

Remešová, N.: Niektoré agregácie v rozhodovacom procese.
Bakalárska práca, Košice, 2020 (RNDr. Lenka Halčinová, PhD.)
Agregačné funkcie majú stále väčšie uplatnenie v rôznych oblastiach matematiky, ekonomiky a tiež v rozhodovacích procesoch. Jednou zo skupín agregačných funkcií sú neaditívne integrály, akými sú napríklad Choquetov integrál alebo kumulatívna prospektová teória. Tieto agregačné funkcie využívajú pri výpočtoch množinovú funkciu, tzv. kapacitu, ktorá vyjadruje dôležitosť kritérií. Ako jedno z rozšírení Choquetovho integrálu bol navrhnutý zovšeobecnený Choquetov integrál. Tento integrál nám vďaka využitiu zovšeobecnenej kapacity umožňuje nastavenie rôznych hodnôt dôležitostí kritérií v závislosti od levelu. V tejto práci sa pozrieme aj na niektoré výhodné vlastnosti zovšeobecneného Choquetovho integrálu. Pôvodná prospektová teória mala niektoré teoretické problémy súvisiace s neaditívnymi pravdepodobnosťami, preto bola navrhnutá tzv. kumulatívna prospektová teória, ako jej vylepšený model. Tento novší model, ako jeden z neaditívnych integrálov, je často využívaný v poistnej matematike, preto sme sa bližšie pozreli na výpočty tejto agregačnej funkcie.

Schwartzová, R.: Vybrané aplikácie skoro disjunktných systémov v topológii.
Diplomová práca, Košice, 2023 (RNDr. Jaroslav Šupina, PhD.)
Táto diplomová práca sa zaoberá aplikáciami skoro disjunktných systémov v topológii. Prvou z nich je konštrukcia Mrówkovho-Isbellovho priestoru ?(A), kde určujeme uzáver všetkých podmnožín tohto priestoru a overujeme jeho základné vlastnosti. Ďalej uvažujeme ideál I na množine prirodzených čísel a kardinálne invarianty kontinua a, a(I), cov*(I), p, pričom poukazujeme na rôzne možnosti ich definovania. Naším hlavným výsledkom je dôkaz, že kardinálny invariant kontinua a(I) je možné reprezentovať uniformným číslom non(P) topologickej vlastnosti P.

Slovinská, M.: Podmienené agregácie, level miery a ich využitie v scientometrii.
Diplomová práca, Košice, 2022 (RNDr. Lenka Halčinová, PhD.)
V práci študujeme zovšeobecnenú level mieru a popisujeme jej vzťah ku štandardnej level miere. Ide o koncept, ktorý bol zavedený nedávno a je založený na tzv. podmienených agregačných operátoroch. Formulujeme nutné a postačujúce podmienky pre rovnosť a nerovnosti medzi zovšeobecnenou a štandardnou level mierou. Dôsledkom sú postačujúce podmienky pre rovnosť a nerovnosti medzi niektorými štandardnými a zovšeobecnenými neaditívnymi integrálmi. Taktiež uvádzame formuly pre výpočet zovšeobecnenej level miery. Nakoniec predstavíme zovšeobecnené level miery ako nástroj na vyhodnocovanie kvality vedcov. Na reálnych dátach porovnáme viaceré scientometrické ukazovatele.

Šiška, P.: Diskrétne modely populačnej dynamiky.
Bakalárska práca, Košice, 2021 (Mgr. Jozef Kiseľák, PhD.)
Práca prezentuje čiastočne súčasný stav problematiky diskrétnych modelov populačnej dynamiky. V prvej kapitole sme načrtli, pre naše potreby zjednodušenú teóriu diferenčných rovníc. Ďalej, v druhej kapitole práce analyzujeme niektoré, ale zároveň najrelevantnejšie diskrétne modely populačnej dynamiky. Objektom tejto kapitoly je popis týchto diskrétnych modelov, analýza ich vlastností, pozitív a nedostatkov. V ďalšej časti práce sa zaoberáme maticovým zápisom teoretického Fibonacciho modelu dynamiky populácie králikov, rozšírením modelu, a to zanedbaním zjednodušujúcich predpokladov a zovšeobecnením pozorovaní, ktoré ilustrujeme na príkladoch lineárneho a nelineárneho modelu populačnej dynamiky. Ďalej sa zaoberáme popisom maticového modelu difúzie populácie za pomoci Kroneckerovho súčinu matíc. V záverečnej kapitole sme overili nadobudnuté vedomosti a postupy pre konštrukciu vlastného modelu dynamiky teoretickej populácie baktérií. Našim cieľom bolo a zároveň aj výsledkom je popis dynamiky spomínanej populácie využitím Kroneckerovho a Khatri-Raovho súčinu matíc. Výsledkom riešenia danej problematiky je úvahový, ale aj matematický opis problémov, ktoré sa môžu vyskytnúť pri konštrukcii analogicky netriviálneho modelu dynamiky populácie. Výsledok riešenia danej problematiky sme interpretovali pomocou počítačovej simulácie v programovacom prostredí R.

Triščová, B.: Matematika pre chemikov v úlohách.
Diplomová práca, Košice, 2022 (RNDr. Lenka Halčinová, PhD.)
S matematikou sa stretávame všade okolo nás, prirodzene je aj súčasťou chémie. Táto záverečná práca je zbierkou riešených a neriešených úloh s chemickým kontextom. Poukazuje na to, ako matematika pomáha riešiť praktické chemické otázky. Práca môže slúžiť ako doplnok štandardných zbierok matematiky pre chemikov, v ktorých sa takéto úlohy vyskytujú v pomerne malej miere. Avšak, úlohy môžu byť zaujímavé aj pre študentov matematiky, či bežného čitateľa.

Vovchyk, V.: Choquetov integrál pre viacrozmerné dáta.
Diplomová práca, Košice, 2024 (prof. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
Viacrozmerný Choquetov integrál je rozšírením Choquetovho integrálu na situácie, kde vstupné dáta pozostávajú z~viacerých rozmerov alebo atribútov. V literatúre existuje niekoľko prístupov, ktoré v práci spomenieme, avšak sústredíme sa na skúmanie možností agregácie viacrozmerných dát pomocou Choquetovho integrálu Hoeffdingovho typu, ktorý bol publikovaný len nedávno poľskými matematikmi. Pre tento integrál dokážeme niektoré nové vlastnosti, nutné a postačujúce podmienky pre platnosť dvoch nerovností Čebyševovho typu a niektoré ich užitočné dôsledky. Následne popíšeme niekoľko spôsobov použitia Choquetovho integrálu pre riešenie multiexpertných multikriteriálnych rozhodovacích problémov a dostaneme sa tak k ďalšiemu viacrozmernému zovšeobecneniu diskrétneho Choquetovho integrálu.

Žoldák, J.: Dynamika matematických biliardov: od metriky ku chaosu.
Diplomová práca, Košice, 2024 (doc. Mgr. Jozef Kiseľák, PhD.)
Cieľom tejto práce je oboznámenie sa s oblasťou matematických biliardov a preskúmanie základných nástrojov ich analýzy. Následné preskúmanie dostupných softvérových možnosti na ich simuláciu a matematický popis vybranej knižnice DynamicalBilliards.jl. Hlavným cieľom práce je analýza a simulácia biliardov v metrikách odlišných od Euklidovej, konkrétne v Poincarého Half plane metrike a Poincarého Disk model metrike a analýza chaotického správanie sa biliardov v týchto metrikách. Práca prináša analýzu biliardov v skúmaných metrikách a softvérové riešenie simulácie biliardov v knižnici DynamicalBilliards.jl V poslednej časti sa venujeme úvodu do teórie chaosu a uvádzame nástroje na analýzu chaosu biliardov v skúmaných metrikách. Formulujeme hypotézy o chaotike biliardov v týchto metrikách na základe nami vytvorených simulácií.