Pre študentov


Táto časť slúži študentom, ktorí majú záujem robiť bakalárske, diplomové, či záverečné práce z analýzy u pracovníkov Oddelenia matematickej analýzy. Je tu možné nájsť zoznam vypísaných záverečných prác so stručnou charakteristikou a požiadavkami vyučujúceho. Kvôli lepšej zorientovanosti sa záujemcov uvádzame tiež abstrakty ukončených (obhájených) prác pod vedením členov oddelenia z obdobia posledných pár rokov. Okrem vypísaných tém tu budú priebežne aktualizované aj zaujímavé problémiky a námety, z ktorých sa v prípade záujmu môže stať vypísaná téma záverečnej práce pre konkrétneho záujemcu. V prípade záujmu je ideálne kontaktovať príslušného vyučujúceho (mailom, osobne), ktorý danú tému ponúka. Po dohode je možné vypísať aj prácu na inú (rozumnú) tému.



Vypísané témy bakalárskych prác
(pre rok 2020/2021)




Vypísané témy dizertačných prác
(pre rok 2020/2021)

  • Funkcie zachovávajúce metriku a ich aplikácie (prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc.)
  • Teória agregácie založená na neaditívnej a nelineárnej analýze (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD. / RNDr. Lenka Halčinová, PhD. )
  • Integrovanie vzhľadom na podmienenú agregáciu (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD. / Dr. Michal Boczek)



Niekoľko ďalších námetov na záverečné práce





Abstrakty záverečných prác
(za posledných 5 rokov)

Bališčák, M.: Hermiteova-Hadamardova nerovnosť.
Bakalárska práca, Košice, 2018
 (RNDr. Lenka Halčinová, PhD.)
Hermiteova-Hadamardova nerovnosť je jednou zo základných nerovností, ktoré platia v triede (reálno-hodnotových) konvexných funkcií. Táto nerovnosť má svoju prirodzenú geometrickú interpretáciu a množstvo aplikácií v ďalších oblastiach matematiky.

Baluchová, G.: Integrálne rovnice v stereológii: O rezoch podobných, konvexných telies.
Diplomová práca, Košice, 2019
 (Mgr. Jozef Kiseľák, PhD.)
Predložená práca sa zaoberá dvoma špecifickými Volterrovými integrálnymi rovnicami, ktoré vznikajú pri priereze telesa náhodnými geometrickými útvarmi, v tomto prípade rovinou a priamkou. Uvedené rovnice sú výsledkom stereologických úvah, pomocou ktorých je možné odhadnúť vlastnosti trojrozmerných útvarov na základe ich dvojrozmerných rezov alebo priemetov. V práci sa venujeme teoretickým predpokladom vzniku týchto rovníc, ich odvodeniu a hľadaniu ich riešenia. Riešenie pritom ponúkame z pohľadu dostupnej literatúry, ako aj vlastným postupom, použitím metódy modelového riešenia a Mellinovej integrálnej transformácie. Treba pritom zdôrazniť, že doteraz bol rozriešený iba tzv. (skoro) sférický problém a nami navrhované riešenie zahŕňa všetky možné typy pravdepodobnostných rozdelení. V neposlednom rade využívame obe riešenia spomenutých rovníc v konkrétnych príkladoch. Výsledky tejto práce tak prinášajú novodobý pohľad na relatívne starý problém, ktorého aplikácie siahajú nielen do matematiky, ale aj do rôznych iných vedeckých oblastí, napr. geológie, medicíny, informatiky a iných.

Basarik, S.: Choquetov integrál založený na super level miere.
Diplomová práca, Košice, 2020
 (RNDr. Lenka Halčinová, PhD.)
V tejto práci sa zaoberáme jedným typom zovšeobecnenia Choquetovho integrálu, ktorý súvisí s tzv. super level mierou. V práci študujeme jej vlastnosti, vzťah so štandardnou level mierou a pojmy, ktoré s ňou bezprostredne súvisia, koncept sizeu, vonkajšieho esenciálneho suprema. Okrem už známych výsledkov¨formulujeme aj nové výsledky. V nadväznosti na to sa zaoberáme aj vzťahom medzi zovšeobecneným Choquetovým integrálom a štandardným Choquetovým integrálom, tiež sa venujeme ich vlastnostiam. Aplikovateľnosťou týchto integrálov sa zaoberáme v súvislosti s rozhodovacími procesmi, kde ich uvažujeme ako agregačné funkcie. Prácu s uvedenými integrálmi zjednodušuje aplikácia, ktorú sme vytvorili a možno ju nájsť v prílohe tejto práce.

Barňáková, D.: L2 chyba interpolačného polynómu a Rungeho jav.
Diplomová práca, Košice, 2016
 (Mgr. Jozef Kiseľák, PhD.)
V tejto práci sa zaoberáme polynomiálnou interpoláciou, ktorej chybu odhadujeme v norme L2. Orientujeme sa hlavne na funkcie, u ktorých pri interpolácii ekvidištančnými uzlami nastáva Rungeho jav. Nájdeme niektoré doposiaľ neuvádzané "Rungeho" funkcie a k vybraným funkciám pridáme aj grafickú interpretáciu. Sformulujeme, dokážeme a na príkladoch overíme tvrdenia, ktoré odhadujú chybu interpolácie v Chebyshevových a Legendreových uzloch. Ukážeme, že aj keď je pre normu L2 minimálny (z hľadiska chyby interpolácie) Legendreov rozvoj, interpolácia v Chebyshevových uzloch je pre väčšie n časovo efektívnejšia.

Bodnárová, S.: Dištančná korelácia ako nástroj miery závislosti v modernom finančníctve.
Diplomová práca, Košice, 2016
 (Mgr. Jozef Kiseľák, PhD.)
V tejto práci sme sa zamerali na pojem dištančná korelácia. Ide o nový spôsob merania závislosti medzi dátami. Definovali sme si základné pojmy - dištančná kovariancia, variancia a korelácia a ich výberové ekvivalenty. Zhrnuli sme niektoré výsledky, ktoré už boli doteraz o dištančnej korelácií dokázané a publikované. Pozreli sme sa na súvislosť s Lancastrovymi rozdeleniami. Skúmali sme aké výhody, resp. nevýhody má dištančná korelácia oproti štandardnej Pearsonovej korelácii. Taktiež sme si odvodili explicitné vzorce pre dištančnú koreláciu vybraných druhov spojitých a diskrétnych rozdelení náhodných vektorov. Vyslovili sme hypotézu o vzorci pre strednú hodnotu empirickej dištančnej variancie. Dištančnú koreláciu sme aplikovali vo vybranej oblasti vo finančníctve. Zamerali sme sa na zaznamenávanie finančných dát pomocou OHCL modelov. Pomocou simulácií sme si vyskúšali overiť získané výsledky. Dištančnú koreláciu sme si vyskúšali aplikovať aj na reálnych dátach. Súčasťou práce je aj vlastná procedúra na výpočet empirickej dištančnej korelácie.

Boldižárová, I.: Uzavretosť tried funkcií vzhľadom na kompozíciu.
Diplomová práca, Košice, 2019
 (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
V tejto práci sa venujeme uzavretosti vybraných tried reálnych funkcií jednej reálnej premennej vzhľadom na kompozíciu. Práca je členená na dve kapitoly, ktoré sú rozdelené na podkapitoly na základe jednotlivých tried funkcií. V prvej kapitole sa venujeme základným triedam funkcií, s ktorými sa študenti oboznamujú v rámci základných kurzov matematickej analýzy (napr. monotónne, spojité, Darbouxovské, diferencovateľné, Riemannovsky integrovateľné). Druhá kapitola ponúka štúdium uzavretosti kompozície v niektorých ďalších triedach funkcií (napr. MN-konvexné, absolútne spojité, funkcie s ohraničenou variáciou, subaditívne funkcie). V práci podávame mnoho príkladov kompozície vybraných tried funkcií a tiež mnoho kontrapríkladov, ktoré prípadne demonštrujú, že daná trieda nie je uzavretá vzhľadom na kompozíciu. V prípade, že trieda nie je uzavretá vzhľadom na kompozíciu, uvádzame postačujúce podmienky, za ktorých kompozícia padne do danej triedy. Vo viacerých prípadoch venujeme pozornosť výsledkom o rozklade kompozície z danej triedy na zložky z uvažovanej triedy.

Brettschneiderová, B.: Miera a integrál v scientometrii.
Diplomová práca, Košice, 2021
 (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
Hirschov index, ako populárny scientometrický údaj, bol zavedený na evaluáciu vedeckých výstupov prominentných fyzikov. Od svojho zavedenia v roku 2005 začal byť postupne dominantný na poli scientometrie až do dnešných čias, keď sa aplikuje v takmer všetkých akademických oblastiach. Relatívne rýchlo si matematici uvedomili, že Hirschov index je špeciálny prípad Sugenovho integrálu vzhľadom na počítaciu mieru. Tento pohľad nám umožňuje využívať techniky neaditívnych mier a integrálov v snahe kompenzovať niektoré nedostatky Hirschovho indexu. V práci sa zaoberáme niekoľkými zovšeobecneniami Hirschovho indexu prostredníctvom adaptívneho kognitívneho integrálu a jeho modikácie po vzore vlastnosti Hirschovho indexu a jeho reprezentácie pomocou Sugenovho integrálu. Ukážeme súvis týchto indexov s existujúcimi indexami z literatúry. Druhá časť práce popisuje myšlienku rozšírenia Hirschovho indexu prostredníctvom zovšeobecnených level mier, ktoré súvisia s aktuálnym výskumom podmieneného agregovania.

Budzáková, I.: Salinon a jeho zovšeobecnenia.
Bakalárska práca, Košice, 2020
 (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
Práca sa zaoberá rovinným útvarom nazývaným salinon a jeho zovšeobecneniami. Salinon je zovšeobecnenie geometrického útvaru nazývaného arbelos, ktorý pozostáva z troch vzájomne sa dotýkajúcich polkružníc ležiacich v rovnakej polrovine, ktorých stredy sú kolineárne. V práci sumarizujeme niektoré známe výsledky pre arbelos, odvádzame základné vlastnosti salinonu a študujeme niektoré kružnice vpísané do salinonu. Predstavíme postupne dve zovšeobecnenia, najprv pomocou parabol (parlinon, parabolická verzia salinonu) a následne pomocou takmer ľubovoľných vhodne zvolených kriviek (f-linon). V oboch prípadoch študujeme základné vlastnosti vzniknutých rovinných útvarov. Niektoré z objavených vlastností nemajú svoju analógiu v salinone, resp. rozširujú platnosť výsledkov platných pre salinon.

Dorčák, D.: Nekonečne dlhé hry a výberové princípy.
Bakalárska práca, Košice, 2019
 (RNDr. Jaroslav Šupina, PhD.)
V tejto práci sa zaoberáme nekonečnou Rothbergerovou hrou a implementáciou jednoduchého prostredia na hranie tejto hry. Hlavným cieľom je vytvorenie rozhrania, v ktorom je používateľovi umožnené hrať Rothbergerovu hru na viacerých obtiažnostných úrovniach. Nekonečné hry slúžia ako silný nástroj pre dokazovanie niektorých topologických vlatností a výskum ich správania stále nie je uzavretý. Dúfame, že takto vytvorená aplikácia bude nápomocná pri pochopení konceptov nekonečných topologických hier širšou verejnosťou a popularizácii konceptu nekonečnej hry ako takého.

Hajník, M.: Ortogonalita v lineárnych priestoroch.
Diplomová práca, Košice, 2016
 (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
V práci sa zaoberáme pojmom ortogonalita v priestoroch, v ktorých nemáme definovaný vnútorný súčin, a tak sa kolmosť prvkov priestoru nedá charakterizovať pomocou nulovej hodnoty ich vnútorného súčinu. Najprv uvedieme historický prehľad základných typov ortogonalít zavedených v normovaných priestoroch, predstavíme niektoré základné vlastnosti jednotlivých typov ortogonalít, ich vzájomné porovnanie a poukážeme na ich výhody, poprípade nedostatky. Hlavnou časťou predloženej práce je predstavenie a štúdium zovšeobecnenia ortogonalít plynúcich zo Suzukiho vlastnosti rovnoramenného lichobežníka, ktorá je vyjadrená pomocou diferenčných operátorov. Ide o funkcionálnu ortogonalitu, ktorá sa dá zaviesť v ľubovoľnom vektorovom priestore. Pre tento typ ortogonality dokážeme platnosť niektorých fundamentálnych tvrdení, ako je Pytagorova veta, Besselova nerovnosť a Cauchyho-Schwartzova nerovnosť.

Harajda, G.: Kritériá konvergencie nevlastných integrálov.
Bkalárska práca, Košice, 2021
 (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
V tejto práci sa zaoberáme kritériami konvergencie nevlastných Riemannových integrálov. Jeho zavedenie robíme pomocou lokálnej integrovateľnosti funkcie, aby sme zahrnuli všetky prípady neohraničenej funkcie a integrálu na neohraničenom intervale. V práci najprv sumarizujeme známe kritériá konvergencie, ktoré demonštrujeme na niekoľkých príkladoch. V druhej časti sa zameriavame na nájdenie spojitej analógie ďalších kritérií známych pre nekonečné číselné rady. Tie zahŕňajú rozličné limitné kritériá a kritériá súčinového typu, pri ktorých uvedieme nové dôkazy a nové postačujúce podmienky prostredníctvom variácie funkcie.

Hovana, T.: Kritériá konvergencie nekonečných číselných radov.
Diplomová práca, Košice, 2016
 (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
Práca pojednáva prevažne o menej známych kritériách konvergencie nekonečných číselných radov, na vyšetrenie ktorých nestačia klasické bežne vyučované kritériá. Ukážkovým prípadom je situácia, kedy pri vyšetrovaní konvergencie radu s nezápornými členmi dospejeme k limite podielu dvoch za sebou idúcich členov rovnou 1. V takom prípade sa daný podiel dá zapísať v tvare an/an+1 = 1+bn, kde postupnosť (bn)1 konverguje k nule. V závislosti od vyjadrenia tejto postupnosti existujú kritériá konvergencie (napr. Raabeho, Gaussovo, Bertrandovo, Kummerovo, atď.), ktoré sú formuláciou komplikovanejšie, ale majú širšie možnosti praktického použitia. V práci uvádzame aj funkcionálny prístup či už pomocou rozšírenia f(n)=an alebo r(n)=an/an+1 pre vhodné funkcie f a r. To umožňuje napr. používanie nevlastných integrálov pri vyšetrovaní konvergencie radov. V prípade radov s reálnymi členmi je použiteľných kritérií na vyšetrenie relatívnej konvergencie omnoho menej, a tak prezentujeme viaceré málo známe kritériá, ako aj ich zovšeobecnenia, ktoré sú použiteľné v prípadoch, kedy tieto kritériá nedávajú odpoveď na otázku konvergencie radu.

Hurajová, K.: Hudobná výchova pre matematikov.
Bakalárska práca, Košice, 2020
 (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
Hoci sa matematika používa pri štúdiu hudby už od staroveku, použitie vyššieho matematického aparátu poskytuje relatívne nový a silný nástroj v matematickej teórii hudby od druhej polovice 20. storočia. Táto práca sa zaoberá niektorými technikami diskrétnej matematiky, konkrétne teóriou grúp a polyedrálnou teóriou, pri skúmaní štruktúry viaczvukov v rovnomerne temperovanom tónovom systéme. Použitie dihedrálnej grupy rádu 24 je známe v konštrukcii tzv. T/I-grupy a PLR-grupy operácií na durových a molových akordoch v štandardne používanom 12-tónovom rovnomerne temperovanom tónovom systéme E12 západnej hudby. Tento prístup umožňuje vidieť hudobné kompozičné techniky na ciferníku hodín. Iný pohľad predstavujeme pri štúdiu štruktúry priestoru trojzvukov C(n1,n2,n3) (nie nutne durových a molových) vo všeobecnom rovnomerne temperovanom tónovom systéme EN s počtom tónov N=n1+n2+n3. Tento priestor modelujeme prostredníctvom simpliciálneho komplexu a spočítame jeho Eulerovu charakteristiku. Na základe toho vidieť, že štruktúra priestoru C(3,4,5) durových a molových akordov v E12 je dobre známy tórus, v ktorom Beethovenova postupnosť akordov (z 9. symfónie) predstavuje hamiltonovskú kružnicu.

Hurňáková, Z.: Nerovnosti pre Sugenov integrál.
Diplomová práca, Košice, 2017
 (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
Teória fuzzy miery a fuzzy integrálu (tiež známeho ako Sugenov integrál) bola zavedená Sugenom ako nástroj na modelovanie nedeterministických problémov. Z matematického hľadicka majú fuzzy integrály veľmi zaujímavé vlastnosti, ktoré boli študované viacerými autormi. Táto práca je zameraná na Sugenov (fuzzy) integrál, popísanie jeho vlastností a vytvorenie prehľadu o klasických nerovnostiach prevedených pre tento integrál. V práci nájdeme integrálne nerovnosti ako je Bushellova-Okrasinského, Cauchyho-Schwarzova, Čebyševova, Hardyho, Hölderova, Jensenova, Markovova a Minkowského nerovnosť. Okrem toho, cieľom práce je vyplnenie prázdnych miest dokázaním nových integrálnych nerovností pre Sugenov integrál a ďalej zovšeobecnenie nových a známych integrálnych nerovností.

Jaščurová, E.: Entropia a jej aplikácie v modernej teórii portfólia.
Bakalárska práca, Košice, 2016
 (Mgr. Jozef Kiseľák, PhD.)
V práci skúmame aplikáciu pôvodne fyzikálneho pojmu - entropie - v oblasti tvorby optimálneho portfólia. Na entropiu sa pozeráme dvoma rôznymi spôsobmi. V prvom prípade ako na mieru diverzifikácie portfólia, ktorá priamo súvisí s princípom maximálnej entropie, a v druhom prípade ako na mieru rizika. V oboch prípadoch formulujeme optimalizačné úlohy a matematicky overujeme ich riešiteľnosť. V prípade entropie ako miery diverzifikácie v prvotnej formulácii uvažujeme Shannonovu definíciu entropie, neskôr pristupujeme k všeobecnejšiemu tvaru úlohy využitím jej neaditívneho zovšeobecnenia - Tsallisovej entropie a študujeme vplyv parametra q na výsledné portfólio. Pri oboch typoch entropie odvodzujeme explicitné tvary globálnych riešení sformulovaných optimalizačných úloh a tieto výsledky formulujeme do lem, ktoré predstavujú metódy konštrukcie dobre diverzifikovaného portfólia. V prípade entropie ako miery rizika poukazujeme na existenciu alternatívy ku klasickej Markowitzovej metóde minimalizujúcej riziko portfólia. Získané výsledky v oboch prípadoch aplikujeme na reálne historické dáta s cieľom zistiť a porovnať, ako sa jednotlivým portfóliám vytvorených nami navrhnutými metódami v skutočnosti darilo.

Kleinová, M.: Diskrétne univerzálne integrály.
Diplomová práca, Košice, 2020
 (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
Cieľom našej diplomovej práce je popísať rôzne prístupy k integrovaniu na konečnej základnej množine vzhľadom na kapacity. Zaoberáme sa troma triedami integrálov, ktoré rôznym spôsobom zovšeobecňujú dva najznámejšie neaditívne integrály: Choquetov a Sugenov integrál. Prvá trieda integrálov je založená na pojme binárna kopula, a preto sa táto trieda nazýva kopulové integrály. Obsahuje v sebe tak Choquetov ako aj Sugenov integrál. Zovšeobecnením kopuly je agregačná funkcia známa ako semikopula. Koncept integrálu založeného na semikopule, tzv. seminormovaný integrál, v sebe zahŕňa Sugenov a Shilkretov integrál. Treťou triedou integrálov opäť obsahujúcou Sugenov a Shilkretov integrál je nedávno zavedený kognitívny integrál. Kým všetky integrály z prvých dvoch tried sú tzv. univerzálnymi integrálmi, kognitívne integrály vo všeobecnosti nie sú univerzálne. V každom prípade študujeme základné vlastnosti integrálov v danej triede, charakterizujeme niektoré integrály a predstavíme ich axiomatickú charakterizáciu.

Kočik, D.: Detekcia chaosu na ekonomických a finančných trhoch.
Bakalárska práca, Košice, 2017
 (Mgr. Jozef Kiseľák, PhD.)
Táto bakalárska práca sa zaoberá problematikou detekcie chaosu. Uvádzame v nej základne zobrazenia ako je stanové zobrazenie, Hénonovo zobrazenie a logistické zobrazenie, v ktorých sa vyskytuje chaotické správanie a na nich sa snažíme vysvetliť spôsob ako tento chaos detekovať. Podrobnejšie rozoberáme spôsob detekcie pomocou korelačnej dimenzie, pričom tento spôsob aplikujeme na základné zobrazenia, kde sa vyskytuje. Ako druhý spôsob používame BDS test, ktorý je zložitejší, ale účinnejší. Na záver aplikujeme BDS test okrem známych zobrazení aj na reálne dáta z ekonomickej oblasti.

Košárová, L.: Limita zložených funkcií.
Bakalárska práca, Košice, 2020
 (RNDr. Jaroslav Šupina, PhD.)
Cieľom práce je pripraviť učebný text pre študenta základného kurzu matematickej analýzy, venujúci sa výpočtom limít zložených funkcií pomocou Vety o limite zloženej funkcie. Práca sa skladá z troch častí. V prvej časti práce je zhrnutá teória potrebná na vyslovenie Vety o limite zloženej funkcie a rozobraté jej jednotlivé varianty. V druhej časti práce ilustrujeme použitie Vety o limite zloženej funkcie na príkladoch zodpovedajúcich daným variantom vety. Treťou časťou práce je opis učebného textu. Samotný učebný text, ktorý je štrukturovaný do šiestich krátkych kapitol, prikladáme ako prílohu. V učebnom texte sa na príkladoch a pomocou diagramov snažíme vysvetliť podstatu spomínanej vety a ukázať jej využitie pri výpočtoch limít zložených funkcií.

Lukačková, K.: Prerovnania alternujúcich radov.
Diplomová práca, Košice, 2017
 (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
V práci študujeme správanie sa prerovnaní relatívne konvergentných radov jednak vo všeobecnosti, ako aj pre špecifický prípad alternujúceho harmonického radu. Riemannova veta o prerovnaní umožňuje zostrojiť prerovnanie konvergujúce k ľubovoľnému reálnemu číslu. My sa však zaoberáme v istom zmysle opačným prípadom: určením súčtu radu po prerovnaní jeho členov k dopredu zvolenému číslu, pričom uvažujeme hlavne tzv. jednoduché prerovnania (pozícia kladných členov vzhľadom k záporným ostáva nezmenená) a špeciálne regulárne prerovnania (v prerovnanom rade sa strieda vždy rovnaký počet kladných s iným rovnakým počtom záporných členov pôvodného radu). V práci sa zaoberáme aj zmenou znamienok členov v harmonickom rade, kde umiestnením znamienok, t.j. úpravou niektorých kladných členov na záporné, vieme dostať konvergentný rad a následne stanoviť jeho súčet explicitne. Pozrieme sa aj na prerovnania konvergujúce s istou presnosťou a rozdiel medzi presným súčtom prerovnania a súčtom s určitou odchýlkou. Taktiež skúmame vlastnosti postupností kladných záporných členov prerovnania a ich súvislosť s konvergenciou tohto prerovnaného radu.

Marton, A.: Ideál na prirodzených číslach a konvergencia funkcií.
Diplomová práca, Košice, 2020
 (RNDr. Jaroslav Šupina, PhD.)
Jednou z možností, ako charakterizovať „malé“ podmnožiny základnej množiny, je využitie pojmu ideálu. Tento koncept viedol k prirodzenému rozšíreniu definícií rôznych typov konvergencií. V tejto práci sa zameriavame na rozličné typy ideálových konvergencií postupností funkcií. Študujeme a sumarizujeme tieto typy konvergencií, ako aj prirodzené vzťahy medzi nimi. Ďalej podávame prehľadný zoznam kontrapríkladov, ktoré dokazujú, že zoznam uvedených prirodzených vzťahov je úplný a nedá sa bez dodatočných predpokladov rozšíriť. Analyzujeme tiež vzťah medzi Katětovým usporiadaním a ideálovou konvergenciou postupností funkcií. Jednou z hlavných tém, na ktorú sa zameriavame, je kombinatorická vlastnosť P(J) – prirodzená ideálová modifikácia definície P-ideálov, veľmi úzko prepojená s niektorými typmi ideálovej konvergencie. Okrem všeobecného skúmania tohto pojmu tiež objasňujeme, ktoré dvojice často používaných kritických ideálov na karteziánskom súčine prirodzených čísel sú v tomto vzťahu.

Ontkovičová, Z.: Fyzikálne pole v kontexte Helmholtzovej dekompozičnej vety.
Diplomová práca, Košice, 2018
 (Mgr. Jozef Kiseľák, PhD.)
Táto diplomová práca sa v prevažnej miere venuje Helmholtzovej dekompozičnej vete. Na základe nej vieme vektorovú funkciu spĺňajúcu podmienky vety rozložiť na dve zložky, a to solenoidálnu s nulovou divergenciou a nevírivú s nulovou rotáciou. Cieľom práce je obsiahnuť teoretický základ, ktorý si odvodenie, vyslovenie či následná aplikácia tejto vety vyžadujú a ukázať jej použitie na konkrétnych príkladoch. V práci tiež poukazujeme na nejednoznačnosť zložiek rozkladu funkcie vo vete pre ohraničenú oblasť. Navrhneme podmienky, ktoré môžu túto nejednoznačnosť odstrániť a tie následne experimentálne overíme na konkrétnych príkladoch. V práci tiež uvádzame príklady, ktoré majú aj fyzikálnu interpretáciu, a to v oblasti fyziky elektromagnetického poľa a hydrodynamiky.

Popaďáková, V.: Stochastické modelovanie vybraných druhov poistenia pomocou náhodnej prechádzky.
Diplomová práca, Košice, 2016
 (Mgr. Jozef Kiseľák, PhD.)
V práci uvažujeme rôzne typy poistení (poistenie pre prípad dožitia, poistenie pre prípad smrti a zmiešané poistenie). Nekonštantným spôsobom sa snažíme modelovat úrokovú mieru a porovnávat výsledky. Úrokovú mieru sme uvažovali ako funkciu (periodická, racionálna, oscilujúca), dalej sme do nej zakomponovali náhodnost pomocou istého pravdepodobnostného rozdelenia a následne náhodnú prechádzku. Cielom bolo skonštatovat, ci spôsob rátania poistení, aký používajú doteraz poistovne je výhodný jednak pre poistenca aj poistovnu. Všetky situácie sme sa snažili namodelovat v tabulkovom kalkulátore MS Excel, kvôli lepšej predstave vývoja poistenia. Tieto simulácie sa nachádzaju na CD disku, ktorý je doplnkom tejto diplomovej práce. Rôzne príklady sme riešili pre obe pohlavia na každý typ poistenia. Pri výpoctoch sme si pomáhali úmrtnostnými tabulkami, ktoré sme si vytvorili z reálnych dát zverejnených na stránkach výskumného demografického centra.

Remešová, N.: Niektoré agregácie v rozhodovacom procese.
Bakalárska práca, Košice, 2020
 (RNDr. Lenka Halčinová, PhD.)
Agregačné funkcie majú stále väčšie uplatnenie v rôznych oblastiach matematiky, ekonomiky a tiež v rozhodovacích procesoch. Jednou zo skupín agregačných funkcií sú neaditívne integrály, akými sú napríklad Choquetov integrál alebo kumulatívna prospektová teória. Tieto agregačné funkcie využívajú pri výpočtoch množinovú funkciu, tzv. kapacitu, ktorá vyjadruje dôležitosť kritérií. Ako jedno z rozšírení Choquetovho integrálu bol navrhnutý zovšeobecnený Choquetov integrál. Tento integrál nám vďaka využitiu zovšeobecnenej kapacity umožňuje nastavenie rôznych hodnôt dôležitostí kritérií v závislosti od levelu. V tejto práci sa pozrieme aj na niektoré výhodné vlastnosti zovšeobecneného Choquetovho integrálu. Pôvodná prospektová teória mala niektoré teoretické problémy súvisiace s neaditívnymi pravdepodobnosťami, preto bola navrhnutá tzv. kumulatívna prospektová teória, ako jej vylepšený model. Tento novší model, ako jeden z neaditívnych integrálov, je často využívaný v poistnej matematike, preto sme sa bližšie pozreli na výpočty tejto agregačnej funkcie.

Slovinská, M.: Rôzne prístupy k výpočtu Choquetovho integrálu.
Bakalárska práca, Košice, 2020
 (RNDr. Lenka Halčinová, PhD.)
Potreba modelovať niektoré reálne situácie viedla k zavedeniu neaditívnych integrálov. Jedným z nich je Choquetov integrál, ktorý má vďaka svojim vlastnostiam široké využitie. Používa sa v rozhodovacích procesoch, štatistike, ekonómii a mnohých ďalších oblastiach. Značná časť doteraz publikovaných štúdií bola zameraná na výpočet a aplikáciu Choquetovho integrálu v diskrétnom prípade, výpočet pre spojité funkcie sa objavuje v odbornej literatúre zriedkavejšie, je obsahom tejto práce. V práci sumarizujeme vzťahy pre výpočet Choquetovho integrálu vzhľadom na fuzzy mieru (resp. deformovanú Lebesgueovu mieru) na nezápornej reálnej osi pre rýdzomonotónne a následne nerastúce a neklesajúce funkcie. Pre nemonotónne funkcie poukážeme na využitie preusporiadania funkcie pri výpočte integrálu. Na základe týchto poznatkov sformulujeme tvrdenia pre výpočet Choquetovho integrálu aj pre nespojité funkcie. Nakoniec predstavíme Laplaceovu transformáciu, ako užitočný nástroj na výpočet Choquetovho integrálu.

Soták, M.: Arbelos a jeho zovšeobecnenia.
Bakalárska práca, Košice, 2016
 (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
Práca pojednáva o rovinnom útvare nazývanom arbelos a jeho zovšeobecneniach. Arbelos je rovinný útvar pozostávajúci z troch dotýkajúcich sa polkružníc ležiacich v rovnakej polrovine, ktorých priemery sú kolineárne. V prvej časti popisujeme základné vlastnosti arbelosu a s ním súvisiace geometrické konštrukcie vpísaných a opísaných útvarov. Následne prezentujeme parabolickú analógiu arbelosu nazvanú parbelos, popis jeho špecifík a porovnanie jeho vlastností s vlastnosťami arbelosu. Nakoniec uvádzame zovšeobecnenie arbelosu nazvané f-belos, teda útvar, ktorý je ohraničený troma takmer ľubovoľnými podobnými krivkami a vyšetrujeme jeho charakteristiky.

Šottová, V.: Ideály a submiery na prirodzených číslach.
Diplomová práca, Košice, 2016
 (RNDr. Jaroslav Šupina, PhD.)
Táto práca sa zameriava na vzťah dvoch principiálne odlišných pojmov. Spoločným prvkom sa pre nich stane množina prirodzených čísel. K ich preštudovaniu a analýze budeme používať topológiu. Preto skôr, ako sa začneme zaoberať ich charakterizáciou, uvádzame niekoľko všeobecných poznatkov z tejto oblasti. Následne najprv popisujeme množinovú funkciu známu ako submieru. Zaoberáme sa najmä jej zdola polospojitou verziou. Ďalej analyzujeme množinový systém, tzv. ideál. Ide o množinu množín, ktorá je okrem iného hustou podmnožinou potenčnej množiny prirodzených čísel. Spojenie týchto dvoch štruktúr nám ponúka Mazurova-Soleckého veta, ktorá tento vzťah popisuje pomocou ekvivalencií. Práve zdola polospojitosť je kľúčovým aspektom, ktorý dovoľuje toto spojenie. Taktiež sa venujeme aj niektorým detailom dôkazu tejto vety.

Takáčová, A.: Kvázikryštály a tónové systémy.
Bakalárska práca, Košice, 2017
 (doc. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.)
V práci sa pokúšame nájsť pojivko medzi dvoma vzdialenými oblasťami interdisciplinárneho výskumu. Tak kvázikryštály, ako aj tónové systémy v širšom zmysle sú objektami záujmu viacerých vedných disciplín, akými sú fyzika, chémia a v neposlednom rade matematika. V práci sa zaoberáme popisom jednorozmerných kvázikryštálov pomocou techniky "cut and project" množín a ich reprezentáciou pomocou čísel s neceločíselným základom. Postrehli sme, že geometrické rovinné zobrazenia týchto čísel veľmi pripomínajú zobrazenia geometrických sietí, ktoré sú veľmi efektívnym nástrojom na skúmanie tónových systémov. Preto detailne sledujeme vzťah medzi niektorými zvolenými tónovými systémami a jednorozmernými kvázikryštálmi.

Triščová, B.: Matematika v chémii a chémia v matematike.
Bakalárska práca, Košice, 2020
 (RNDr. Lenka Halčinová, PhD.)
V tejto práci sa zaoberáme využitím matematiky v chémii. Ide najmä o také oblasti matematiky, s ktorými sa vysokoškolský študent chémie bezprostredne stretne na základných kurzoch chémie a vo svojom budúcom povolaní. Cieľom práce je ”búrať“ typické predstavy mnohých študentov, ktorí majú často pocit, že matematika je vzdialená reálnym problémom, počas štúdia a vo svojom budúcom povolaní sa s ňou nestretnú. Tento cieľ dosahujeme prostredníctvom množstva aplikačných úloh chemickej povahy. Mnohé z nich sme naformulovali pomocou odporúčanej literatúry základných kurzov chémie, laboratórnych cvičení alebo sme ich vyhľadali v zbierkach. Úlohy dopĺňame aj o názorné matematické riešenia, na ktorých demonštrujeme konkrétne využitie matematiky. V práci sa sústreďujeme na funkciu jednej reálnej premennej.

Uhrik, D.: Composition of discontinuous functions.
Diplomová práca, Košice, 2018
 (RNDr. Jaroslav Šupina, PhD.)
Nespojité funkcie sa prirodzene vyskytujú v mnohých častiach matematiky. Jedna z najstarších hierarchií nespojitých funkcií je takzvaná Bairova hierarchia, zavedená Bairom v roku 1899. Malou modifikáciou Bairovej hierarchie vieme dostať ďalšiu postupnosť tried funkcií zvanú Youngova hierarchia, zavedená Youngom v roku 1910. V tejto práci urobíme prehľad týchto hierarchií, najmä v kontexte perfektne normálnych topologických priestorov. Vyjadríme tieto triedy ako kompozície tried z nižšieho stupňa. Lindenbaum dokázal mnohé výsledky týkajúce sa spomenutých tried, neskôr Cichoń et al. zovšeobecnili jednu z jeho viet a zjednodušili dôkaz. My sme ďalej zovšeobecnili ich výsledky a pridali naše pozorovania. V závere predkladáme návrh na nový typ konvergencie a aj jej hierarchie, v zápätí dokážeme niektoré jej základné vlastnosti a že sa skutočne líši od klasických hierarchií.

Žoldák, J.: Fractals and dimension recognition.
Bakalárska práca, Košice, 2020
 (RNDr. Jaroslav Šupina, PhD.)
V tejto práci sa pozeráme na fraktály zo štyroch rôznych uhlov pohľadu. Začíname s popisom ako fraktál vyzerá, ktorý je podporený mnohými obrázkami. Ďalej prechádzame cez teóriu dimenzie počítania boxov (box-counting dimension), teóriu Hausdorffovej dimenzie a pokračujeme s rozpoznávaním, resp. počítaním, dimenzie z digitálneho obrázku. Na konci sa pozeráme na životný príbeh Benoîta Mandelbrota. Štýl, akým je práca písaná, je určený čitateľovi, ktorý začína skúmať fraktálnu geometriu. Matematikov pracujúcich v tejto oblasti môže zaujať tretia časť práce, v ktorej sa prezentuje on-line verzia programu, ktorý počíta fraktálnu dimenziu.