Oblasti výskumu a projekty


Viaceré oblasti výskumu majú na bývalých katedrách matematickej analýzy PF UPJŠ v Košiciach svoju dlhoročnú tradíciu, ktorú sa budeme snažiť v krátkosti postihnúť. V súčasnosti sa pracovníci oddelenia aktívne podieľajú na realizácii výskumu v nasledujúcich oblastiach:



Dynamické systémy

Dynamické systémy sa používajú všade tam, kde je potrebné vyjadrit dynamické správanie (teda určitú zmenu stavu systému v čase). Popri diferenciálnych rovniciach, ktoré majú široké spektrum uplatnenia napr. v teórii automatického riadenia, v matematickej ekonómii, fyzikálnom inžinierstve a ďalších oblastiach, sa už dnes v praktických aplikáciách často objavujú aj ich diskrétne a stochastické analógie. Oblasť výskumu obyčajných diferenciálnych rovníc je v Košiciach úzko spätá s takými menami, ktoré pôsobili na PF UPJŠ, ako sú doc. Šoltés, doc. Ohriska, prof. Džurina, Dr. Kulcsár, doc. Mihalíková, Dr. Mojsej a ďalší, ktorí v tejto oblasti zanechali nezmazateľnú stopu a vychovali niekoľko nasledovníkov. Pri dnešnom personálnom stave pokračuje v ich štúdiu ale aj v štúdiu diskrétnych, deterministických i stochastických dynamických systémov Dr. Kiseľák. Venuje sa modelovaniu takýchto systémov pre potreby aplikovanej matematiky v príbuzných vedných odboroch (biológia, chémia, medicína ale aj ekológia, či environmentalistika) a to použitím moderných (casto abstraktných) metód matematickej analýzy a teórie pravdepodobnosti.

Medzinárodná spolupráca: Johannes Kepler University in Linz (Rakúsko), Univerzita Komenského v Bratislave, Konstantin Preslavsky University of Shumen (Bulharsko), University of Valparaíso (Chile), Ústavu výzkumu globální zmeny AV ČR, Technická univerzita v Košiciach



Vektorové miery a integrovanie

Jedným zo zakladateľov teórie vektorových mier bol Igor Kluvánek, ktorý začal túto problematiku presadzovať v 60. rokoch 20. storočia a má dnes mnoho nasledovníkov po celom svete. V tom čase tiež krátko pôsobil na PF UPJŠ pred svojím emigrovaním do Austrálie. Pod jeho vplyvom sa tejto problematike začal venovať aj Ivan Dobrakov, ktorý začiatkom 70. rokov vytvoril ucelenú teóriu (t.j. vrátane celého "kalkulu") integrálu Lebesgueovho typu v Banachových priestoroch vzhľadom na operátorovú hodnotovú mieru (t.j. veľmi zjednodušene: integrand je funkcia definovaná na neprázdnej množine T s hodnotami v Banachovom priestore X, miera je lineárny operátor z X do Banachovho priestoru Y, ktorá je σ-aditívna v silnej operátorovej topológii priestoru L(X,Y)). Tento integrál je dnes známy ako Dobrakovov integrál. O viac ako 20 rokov neskôr (teda v 90. rokoch minulého storočia) vytvoril Dobrakovov žiak Ján Haluška zovšeobecnenie tohto integrálu do všeobecnejších lokálne kompaktných (nemetrizovateľných) priestorov. Ide o teóriu integrovania v tzv. bornologických priestoroch. Tieto priestory zahŕňajú Banachove (vo všeobecnosti neseparovateľné) priestory, Fréchetove priestory, ako aj mnohé priestory často sa vyskytujúce v teoretickej fyzike. Špecifickosť tejto konštrukcie spočíva v tom, že namiesto objektov klasickej teórie používa zväzy týchto objektov. To samozrejme vedie ku viacerým technickým komplikáciám na jednej strane, no na druhej strane kladie tiež otázky a problémy, ktoré sa v bežnej teórii nevyskytujú.

Medzinárodná spolupráca: Matematický ústav SAV, Katholische Universität Eichstätt-Ingolstadt (Nemecko)



Wavelety, koherentné stavy a operátorová teória

Wavelety, ako špeciálne triedy funkcií s mnohými užitočnými vlastnosťami (napr. poskytujú alternatívnu ortonormálnu bázu v Hilbertových priestoroch), sa dnes aplikujú v mnohých problémoch spojených s analýzou signálov (napr. pri detekcii odtlačkov prstov v kriminalistike, pri štúdiu vzdialených galaxií v astrofyzike, pri časovo-frekvenčnej analýze hudobných diel, atď.). S tým súvisí štúdium objektov, ktoré podávajú informáciu o lokalizácii signálu tak v čase, ako aj vo frekvencii. Ide v podstate o operátory Toeplitzovho typu: ak X je priestor funkcií a P je projekcia z X do uzavretého podpriestoru Y priestoru X, potom Toeplitzov operátor T: X→Y so symbolom b je daný ako projekcia P aplikovaná na súčin bf. V literatúre sa môžeme stretnúť s dvoma najviac prebádanými prípadmi, keď Y je buď Hardyho alebo Bergmanov priestor, avšak čoraz viac sa Toeplitzove operátory študujú aj v ďalších priestoroch funkcií, ako sú Fockove, Besove, harmonické Bergmanove, BMO priestory a pod. Tieto operátory sa v kontexte waveletovej, či časovo-frekvenčnej analýzy nazývajú lokalizačné operátory a siahajú k počiatkom waveletovej analýzy. Náš prínos spočíva v syntéze techník používaných pre klasické Toeplitzove operátory na priestoroch analytických funkcií, vďaka čomu sa nám podarilo získať viacero zaujímavých výsledkov a reprezentácií pre tieto Toeplitzove lokalizačné operátory. Ukazuje sa, že táto myšlienka sa dá použiť aj v ďalších situáciách (napr. pri ich charakterizácii pomocou pseudo-diferenciálnych operátorov) a otvára tak nové, ešte neprebádané možnosti štúdia vlastností a správania sa týchto integrálnych operátorov. Naším cieľom je tiež preniknúť do oblastí aplikácií získaných výsledkov.

Medzinárodná spolupráca: CINVESTAV del IPN (Mexiko), Akustický inštitút Rakúskej akadémie vied (Rakúsko), University of Leeds (Anglicko)



Neaditívne miery a integrály, agregačné operátory

TBA

Medzinárodná spolupráca: Lodz University of Technology (Poľsko)



Teoreticko-množinová topológia

Charakteristickou oblasťou výskumu teoreticko-množinovej topológie sú topologické otázky s odpoveďou závislou na teoreticko-množinových predpokladoch. Ináč povedané, ide o štúdium extremálnych topologických vlastností alebo existencie niektorých matematických objektov pri vybraných predpokladoch o nekonečne. Najčastejšie sa skúmajú otázky nezávislé na Zermelovom-Fraenkelovom axiomatickom systéme a týkajúce sa objektov spojených priamo s reálnou priamkou. Príkladom je najmenšia mohutnosť systému množín reálnych čísel s nulovou Lebesgueovou mierou, ktorých zjednotenie už nemá nulovú Lebesgueovu mieru. Za predpokladu neprotirečivosti Zermelových-Fraenkelových axióm k nim môžeme pridať novú axiómu hovoriacu o mohutnosti tohto systému a celý systém bude stále neprotirečivý. Použitím týchto metód môžeme zisťovať silu veľmi abstraktných predpokladov o nekonečne na trocha konkrétnejších objektoch reálnej priamky. Teoreticko-množinová topológia v Košiciach nadväzuje na školu prof. Bukovského a jeho žiakov ako napr. doc. Repický, Dr. Eliaš, Dr. Haleš a sústredí sa na otázky týkajúce sa konvergencie reálnych funkcií a diagonálnych výberových princípov. Po teoreticko-množinovej stránke tento výskum súvisí najčastejšie s hypotézou kontinua. Špecifickou črtou je zapojenie kvázi-normálnej konvergencie, ktorej výskum bol nezávisle na maďarských kolegoch (Császár, Laczkovich) započatý práve v Košiciach doc. Bukovskou.

Medzinárodná spolupráca: Matematický ústav SAV, Vienna University (Rakúsko), Jadavpur University (India), Uniwersytet Gdański (Poľsko)



Riešené projekty


Zovšeobecnené agregačné operátory: teória a aplikácie

- identifikátor projektu: VEGA 1/0657/22
- doba riešenia projektu: 1.1.2022 - 31.12.2025
- vedúci projektu: Ondrej Hutník
- riešiteľský kolektív: Stanislav Basarik
                               Jana Borzová
                               Lenka Halčinová
                               Barbora Hennelová
                               Kristína Hurajová
                               Jozef Kiseľák
                               Mária Slovinská
                               Jaroslav Šupina
- anotácia projektu: Projekt je venovaný základnému výskumu v oblasti agregovania dát a aplikácií dosiahnutých výsledkov v multikriteriálnom rozhodovaní, pri modelovaní komplexných závislostí a v inžinierskych a ekonomických oblastiach. V projekte sa zameriavame na rozvíjanie teoretického aparátu agregácie založenej na aktuálnom koncepte podmienených agregačných operátorov. Podstatná časť projektu je venovaná štúdiu týchto operátorov, zovšeobecnených survival funkcií, level mier a neaditívnych/nelineárnych integrálov na nich založených. Ďalšia oblasť záujmu súvisí s výskumom mier neurčitosti, v ktorom sa zameriavame na štúdium agregácií Choquetovho-Stieltjesovho typu v kontexte entropie a divergencie so zreteľom na použitie v teórii rizika.

Dolovanie, agregovanie a modelovanie údajov s prvkami neurčitosti (DAMod)

- identifikátor projektu: APVV-21-0468
- doba riešenia projektu: 1.7.2022 - 30.6.2026
- vedúci projektu: Jozef Kiseľák
- riešiteľský kolektív: Ľubomír Antoni
                               Stanislav Basarik
                               Jana Borzová
                               Lenka Halčinová
                               Barbora Hennelová
                               Kristína Hurajová
                               Ondrej Hutník
                               Stanislav Krajči
                               Ondrej Krídlo
                               Mária Slovinská
                               Jaroslav Šupina
- anotácia projektu: Spracovanie údajov z rozličných zdrojov je momentálne dôležitou súčasťou každej oblasti ľudskej činnosti. V projekte sa zameriavame na rozvíjanie tak teoretickej stránky spracovania údajov, ako aj aplikovania rozličných prístupov na vyhodnocovanie reálnych štruktúrovaných a neštruktúrovaných údajov s prvkami neurčitosti. Projekt rozvíja nové metódy agregácie a dolovania údajov (fuzzy konceptová analýza, podmienené agregovanie, neaditívne miery a integrály), ako aj použitie týchto nových metód agregovania v štatistike (regresné modely, detekcia a identifikácia outlierov, multivariatná analýza dát, teória estimátorov) a dátovom modelovaní s aplikáciami v ekologických, medicínskych a finančných vedách.



Úspešne ukončené projekty