Oblasti výskumu a projekty


Viaceré oblasti výskumu majú na bývalých katedrách matematickej analýzy PF UPJŠ v Košiciach svoju dlhoročnú tradíciu, ktorú sa budeme snažiť v krátkosti postihnúť. V súčasnosti sa pracovníci oddelenia aktívne podieľajú na realizácii výskumu v nasledujúcich oblastiach:



Dynamické systémy

Dynamické systémy sa používajú všade tam, kde je potrebné vyjadrit dynamické správanie (teda určitú zmenu stavu systému v čase). Popri diferenciálnych rovniciach, ktoré majú široké spektrum uplatnenia napr. v teórii automatického riadenia, v matematickej ekonómii, fyzikálnom inžinierstve a ďalších oblastiach, sa už dnes v praktických aplikáciách často objavujú aj ich diskrétne a stochastické analógie. Oblasť výskumu obyčajných diferenciálnych rovníc je v Košiciach úzko spätá s takými menami, ktoré pôsobili na PF UPJŠ, ako sú doc. Šoltés, doc. Ohriska, prof. Džurina, Dr. Kulcsár, doc. Mihalíková, Dr. Mojsej a ďalší, ktorí v tejto oblasti zanechali nezmazateľnú stopu a vychovali niekoľko nasledovníkov. Pri dnešnom personálnom stave pokračuje v ich štúdiu ale aj v štúdiu diskrétnych, deterministických i stochastických dynamických systémov Dr. Kiseľák. Venuje sa modelovaniu takýchto systémov pre potreby aplikovanej matematiky v príbuzných vedných odboroch (biológia, chémia, medicína ale aj ekológia, či environmentalistika) a to použitím moderných (casto abstraktných) metód matematickej analýzy a teórie pravdepodobnosti.

Medzinárodná spolupráca: Johannes Kepler University in Linz (Rakúsko), Univerzita Komenského v Bratislave, Konstantin Preslavsky University of Shumen (Bulharsko), University of Valparaíso (Chile), Ústavu výzkumu globální zmeny AV ČR, Technická univerzita v Košiciach



Vektorové miery a integrovanie

Jedným zo zakladateľov teórie vektorových mier bol Igor Kluvánek, ktorý začal túto problematiku presadzovať v 60. rokoch 20. storočia a má dnes mnoho nasledovníkov po celom svete. V tom čase tiež krátko pôsobil na PF UPJŠ pred svojím emigrovaním do Austrálie. Pod jeho vplyvom sa tejto problematike začal venovať aj Ivan Dobrakov, ktorý začiatkom 70. rokov vytvoril ucelenú teóriu (t.j. vrátane celého "kalkulu") integrálu Lebesgueovho typu v Banachových priestoroch vzhľadom na operátorovú hodnotovú mieru (t.j. veľmi zjednodušene: integrand je funkcia definovaná na neprázdnej množine T s hodnotami v Banachovom priestore X, miera je lineárny operátor z X do Banachovho priestoru Y, ktorá je σ-aditívna v silnej operátorovej topológii priestoru L(X,Y)). Tento integrál je dnes známy ako Dobrakovov integrál. O viac ako 20 rokov neskôr (teda v 90. rokoch minulého storočia) vytvoril Dobrakovov žiak Ján Haluška zovšeobecnenie tohto integrálu do všeobecnejších lokálne kompaktných (nemetrizovateľných) priestorov. Ide o teóriu integrovania v tzv. bornologických priestoroch. Tieto priestory zahŕňajú Banachove (vo všeobecnosti neseparovateľné) priestory, Fréchetove priestory, ako aj mnohé priestory často sa vyskytujúce v teoretickej fyzike. Špecifickosť tejto konštrukcie spočíva v tom, že namiesto objektov klasickej teórie používa zväzy týchto objektov. To samozrejme vedie ku viacerým technickým komplikáciám na jednej strane, no na druhej strane kladie tiež otázky a problémy, ktoré sa v bežnej teórii nevyskytujú.

Medzinárodná spolupráca: Matematický ústav SAV, Katholische Universität Eichstätt-Ingolstadt (Nemecko)



Wavelety, koherentné stavy a operátorová teória

Wavelety, ako špeciálne triedy funkcií s mnohými užitočnými vlastnosťami (napr. poskytujú alternatívnu ortonormálnu bázu v Hilbertových priestoroch), sa dnes aplikujú v mnohých problémoch spojených s analýzou signálov (napr. pri detekcii odtlačkov prstov v kriminalistike, pri štúdiu vzdialených galaxií v astrofyzike, pri časovo-frekvenčnej analýze hudobných diel, atď.). S tým súvisí štúdium objektov, ktoré podávajú informáciu o lokalizácii signálu tak v čase, ako aj vo frekvencii. Ide v podstate o operátory Toeplitzovho typu: ak X je priestor funkcií a P je projekcia z X do uzavretého podpriestoru Y priestoru X, potom Toeplitzov operátor T: X→Y so symbolom b je daný ako projekcia P aplikovaná na súčin bf. V literatúre sa môžeme stretnúť s dvoma najviac prebádanými prípadmi, keď Y je buď Hardyho alebo Bergmanov priestor, avšak čoraz viac sa Toeplitzove operátory študujú aj v ďalších priestoroch funkcií, ako sú Fockove, Besove, harmonické Bergmanove, BMO priestory a pod. Tieto operátory sa v kontexte waveletovej, či časovo-frekvenčnej analýzy nazývajú lokalizačné operátory a siahajú k počiatkom waveletovej analýzy. Náš prínos spočíva v syntéze techník používaných pre klasické Toeplitzove operátory na priestoroch analytických funkcií, vďaka čomu sa nám podarilo získať viacero zaujímavých výsledkov a reprezentácií pre tieto Toeplitzove lokalizačné operátory. Ukazuje sa, že táto myšlienka sa dá použiť aj v ďalších situáciách (napr. pri ich charakterizácii pomocou pseudo-diferenciálnych operátorov) a otvára tak nové, ešte neprebádané možnosti štúdia vlastností a správania sa týchto integrálnych operátorov. Naším cieľom je tiež preniknúť do oblastí aplikácií získaných výsledkov.

Medzinárodná spolupráca: CINVESTAV del IPN (Mexiko), Akustický inštitút Rakúskej akadémie vied (Rakúsko), University of Leeds (Anglicko)



Teoreticko-množinová topológia

Charakteristickou oblasťou výskumu teoreticko-množinovej topológie sú topologické otázky s odpoveďou závislou na teoreticko-množinových predpokladoch. Ináč povedané, ide o štúdium extremálnych topologických vlastností alebo existencie niektorých matematických objektov pri vybraných predpokladoch o nekonečne. Najčastejšie sa skúmajú otázky nezávislé na Zermelovom-Fraenkelovom axiomatickom systéme a týkajúce sa objektov spojených priamo s reálnou priamkou. Príkladom je najmenšia mohutnosť systému množín reálnych čísel s nulovou Lebesgueovou mierou, ktorých zjednotenie už nemá nulovú Lebesgueovu mieru. Za predpokladu neprotirečivosti Zermelových-Fraenkelových axióm k nim môžeme pridať novú axiómu hovoriacu o mohutnosti tohto systému a celý systém bude stále neprotirečivý. Použitím týchto metód môžeme zisťovať silu veľmi abstraktných predpokladov o nekonečne na trocha konkrétnejších objektoch reálnej priamky. Teoreticko-množinová topológia v Košiciach nadväzuje na školu prof. Bukovského a jeho žiakov ako napr. doc. Repický, Dr. Eliaš, Dr. Haleš a sústredí sa na otázky týkajúce sa konvergencie reálnych funkcií a diagonálnych výberových princípov. Po teoreticko-množinovej stránke tento výskum súvisí najčastejšie s hypotézou kontinua. Špecifickou črtou je zapojenie kvázi-normálnej konvergencie, ktorej výskum bol nezávisle na maďarských kolegoch (Császár, Laczkovich) započatý práve v Košiciach doc. Bukovskou.

Medzinárodná spolupráca: Matematický ústav SAV, Jadavpur University (India), Uniwersytet Gdański (Poľsko)



Riešené projekty


Integrovanie v kontexte zovšeobecnených mier (InCoGeM)

- identifikátor projektu: APVV-16-0337
- doba riešenia projektu: 1.7.2017 - 30.6.2021
- vedúci projektu: Ondrej Hutník
- riešiteľský kolektív: Jana Borzová
                             Lenka Halčinová
                             Anton Hovana
                             Jozef Kiseľák
                             Zuzana Ontkovičová
                             Jaroslav Šupina
- anotácia projektu: Teória neaditívnych mier a integrálov je momentálne dôležitou súčasťou matematiky. Vznikla na základe praktických požiadaviek z okolitého sveta, ktorý sa obvykle nespráva aditívne. Projekt je venovaný niektorým aktuálnym aspektom budovania integrálov založených na nie nutne aditívnych mierach. Na jednej strane sa v projekte študujú integrály založené na klasickej level miere Borelovskej množiny, ktoré sú istými triedami súvisiacimi s kopulami a semikopulami a zahŕňajú známe neaditívne integrály Choqueta, Shilkreta a Sugena, ako aj mnohé ďalšie. Na strane druhej sa v projekte rozvíja koncept super level miery a integrálov založených na tomto koncepte, ktorý poskytuje silný nástroj pre riešenie problémov v harmonickej a časovo-frekvenčnej analýze.

Integrály vzhľadom na neaditívne miery a ich aplikácie

- identifikátor projektu: SK-PL-18-0032
- doba riešenia projektu: 1.1.2019 - 31.12.2020
- vedúci projektu: Ondrej Hutník
- riešiteľský kolektív: Lenka Halčinová
                             Anton Hovana
- anotácia projektu: Predložený bilaterálny projekt sa zaoberá rozvinutím prístupu k problémom integrovania a agregácie údajov v kontexte neaditívnych mier. Očakávanými výsledkami sú nutné a postačujúce podmienky pre platnosť niektorých nerovností pre neaditívne integrály, rozvinutie kalkulu pre niektoré triedy takýchto integrálov a zavedenie nových integrálov, ktoré by boli vhodné pri vyhodnocovaní scientometrických dát



Úspešne ukončené projekty