Príklad: Na veľkej univerzite v USA v r. 1969 zisťovali ročné príjmy profesorov (v 1000$) podľa pohlavia. Podnetom bolo tvrdenie feministickej organizácie, že ženy-profesorky majú v priemere o 7000$ nižší ročný príjem. Zistené hodnoty náhodne vybraných profesorov boli:

Máme teda rozhodnúť o správnosti (pravdivosti) hypotézy $$H_0: \mu_1=\mu_2\,.$$ Stručne sa hovorí o testovaní hypotézy. Mohli by sme ju zapísať aj v tvare $$H_0: \Delta=\mu_1-\mu_2=0\,.$$

Jeden z možných prístupov k tejto otázke je, že zostrojíme IS pre $\Delta$; to je totiž množina najpravdepodobnejších hodnôt tohto parametra. Ak naša hypotetická hodnota bude patriť do IS, bude to svedčiť v prospech hypotézy. Naopak, ak ju IS nebude obsahovať, bude to svedčiť v neprospech hypotézy.

Pre $\alpha=5\%$ dostávame: $$\Delta\in\left(\overline{X}-\overline{Y}\right) \pm t_{n+m-2}(\alpha/2)s_p\sqrt{\dfrac1n+\dfrac1m}=(11-16)\pm 2.16\sqrt{\dfrac{152}{13}} \sqrt{\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{10}}\doteq -5.00\pm 4.05=(-9.05;-0.95)\,.$$ Je teda $\Delta\in(-9.05;-0.95)$ so spoľahlivosťou 95%. Preto sa nám tvrdenie $\Delta=0$ zdá neprijateľné, lebo hypotetická hodnota 0 nepatrí do IS.
Záver: hypotézu zamietame. Tvrdenie, že muži a ženy majú rovnaké platy je v rozpore s dátami. Oproti tomu tvrdenie $\Delta=-7$ je prijateľné, lebo $-7\in\text{IS}$. Túto hypotézu nezamietame. To však nijako nevyplýva z predchádzajúceho, hypotézy $\Delta=0$ a $\Delta=-7$ boli na sebe nezávislé.

Vo všeobecnosti štatistickou hypotézou nazývame každé tvrdenie o (neznámych) populačných parametroch. Okrem základnej nulovej hypotézy, ktorú obvykle chceme vyvrátiť, musíme formulovať aj alternatívnu hypotézu, ktorá hovorí, aký spôsob narušenia nulovej hypotézy je pre nás zaujímavý. Nulová hypotéza je väčšinou bodová, t.j. tvrdí, že neznámy parameter je rovný jednému konkrétnemu číslu. Alternatívna hypotéza je väčšinou intervalová a určuje, akým spôsobom sa bude testovať nulová hypotéza. Napr. v predchádzajúcom príklade sme uvažovali alternatívne hypotézy $$H_1: \Delta\ne0\quad\text{resp.}\quad H_1: \Delta\ne-7\,.$$ Preto sme použili k testovaniu dvojstranný IS. Vzhľadom k motivácii prieskumu by sme však mali uvažovať alternatívnu hypotézu $H_1: \Delta<0$. K takému testu musíme použiť jednostranný IS: $$\Delta\in\left(-\infty;\overline{X}-\overline{Y} + t_{n+m-2}(\alpha)s_p\sqrt{\dfrac1n+\dfrac1m}\right)=\left(-\infty;11-16+1.77\sqrt{\dfrac{152}{13}} \sqrt{\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{10}}\right)\doteq (-\infty;-1.68)\,.$$ Tento interval tiež neobsahuje 0, takže nulovú hypotézu zamietame.

Test hypotézy pomocou intervalu spoľahlivosti robíme teda tak, že sa na IS pozeráme ako na množinu prijateľných hypotéz (pri danej hladine spoľahlivosti). Druh IS je pritom určený alternatívnou hypotézou, ktorá hovorí o predpokladanom spôsobe narušenia nulovej hypotézy. Z tradičných dôvodov sa hovorí o teste hypotézy na hladine $\alpha$, ak použijeme IS na hladine $1-\alpha$. Ak príslušný IS neobsahuje hypotetickú hodnotu (z nulovej hypotézy), potom $H_0$ zamietame. V opačnom prípade ju nezamietame. Nepoužívame termín prijímame hypotézu, keďže dáta nám nikdy nemôžu dať konečný dôkaz o jej platnosti - vždy sa môžu (neskôr) vyskytnúť dáta hypotézu vyvracajúce.

V našom príklade hypotetická hodnota bola mimo IS na hladine 95%; v takom prípade sa $\mu_1$ a $\mu_2$ nazývajú štatisticky rozlíšiteľné na hladine 5%, resp. hovoríme, že priemery sú štatisticky významne odlišné na hladine 5%.

Vidíme teda, že výber hladiny testu podstatným spôsobom ovplyvňuje interpretáciu výsledkov experimentu. Preto jeho voľbe musíme venovať primeranú pozornosť.

Štatistická významnosť však nemusí znamenať aj praktickú dôležitosť: keby bol IS pre rozdiel v platoch $-0.005\pm0.004=(-0.009;-0.001)$, bol by rozdiel tiež štatisticky významný, ale z praktického hľadiska by bol bezvýznamný: maximálny rozdiel by bol 9$ ročne.

Príklad: V závode na výrobu TV obrazoviek vedia, že ich stredná životnosť je $\mu = 12\,000 \text{ hod}$ a smerodajná odchýlka $\sigma = 3\,000 \text{ hod}$. Vývojové oddelenie navrhuje novú technológiu, ktorá by mala zvýšiť životnosť. Po skúšobnom zavedení technológie na jednej výrobnej linke sa otestovala vzorka 100 obrazoviek, pričom dosiahnutý priemer bol $\overline{X} = 12\,650\text{ hod}$. Je nová technológia naozaj lepšia?
Máme teda $H_0: \mu = 12\,000$ proti alternatíve $H_1: \mu > 12\,000$. Smerodajnú odchýlku považujeme za rovnakú v oboch prípadoch. Ako mieru zhody hypotézy s pozorovanými hodnotami môžeme vypočítať pravdepodobnosť, že $\overline{X}$ dosiahne hodnotu 12 650 alebo väčšiu za predpokladu platnosti hypotézy $H_0$: $$p=P\left(\overline{X}\geq 12650\right) =P\left(\dfrac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\geq\dfrac{12650-12000}{3000}\sqrt{100}\right) =P(Z\geq 2.17)\doteq 0.015\,.$$ Ak teda v skutočnosti nová technológia nie je lepšia, pravdepodobnosť, že budeme pozorovať taký veľký priemer bude len 1,5%. Číslo 1,5% budeme volať p-hodnotou pre $H_0$. P-hodnota určuje mieru zhody medzi nulovou hypotézou a dátami.

Pri tomto prístupe musíme poznať rozdelenie bodového odhadu testovaného parametra. V prípade, že je k dispozícii viac odhadov, volíme odhad s najväčšou eficienciou.

Klasický postup testovania hypotézy zahŕňa tieto kroky (v zátvorkách sú údaje z príkladu s obrazovkami):

1. Formulujeme nulovú ($H_0: \mu=12\,000$) a alternatívnu ($H_1: \mu>12\,000$) hypotézu.
2. Zvolíme si hladinu testu $\alpha$. Obvykle je to 5% alebo 1%. Ideálne je jej veľkosť zvolená na základe analýzy možných strát pri nesprávnom rozhodnutí o platnosti hypotézy.
3. Za predpokladu, že $H_0$ platí, nájdeme rozdelenie bodového odhadu parametra, ktorý je predmetom hypotézy (testovaný parameter je $\mu$, príslušný bodový odhad $\overline{X}$). Potom na pravom alebo ľavom konci rozdelenia (resp. obidvoch) - podľa toho, aká je alternatívna hypotéza - odsekneme časť s (súhrnnou) pravdepodobnosťou $\alpha$. Odseknutá časť je kritický obor (kritická oblasť). (Označme $\overline{X}_c$ kritickú hodnotu priemeru. Pre $\alpha=5\%$ je kritická hodnota $Z=\dfrac{\overline{X}_c-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}=z_{0.05}=1.645$, z čoho $\overline{X}_c=12\,000+1.645\dfrac{3\,000}{\sqrt{100}} =12\,493.5$. Kritický obor je teda $\overline{X}\geq 12\,493.5$.)
4. Urobíme náhodný výber, vypočítame odhad testovaného parametra a porovnáme ho s vypočítanou kritickou hodnotou. Ak odhad parametra padne do kritickej oblasti, zamietneme $H_0$ v prospech $H_1$, v opačnom prípade $H_0$ nezamietneme (keďže $\overline{X}=12\,650 > 12\,493.5$, $H_0$ zamietame).

Ak sme hypotézu zamietli, sú možné 2 prípady:

1. $H_0$ v skutočnosti platí, ale mali sme smolu pri našom náhodnom výbere a dostali preto málo pravdepodobný výsledok.
2. $H_0$ v skutočnosti neplatí a preto vysoká hodnota nie je prekvapujúca.

Všetky tri uvedené spôsoby testovania (t.j. klasický test, test pomocou p–hodnoty a test pomocou intervalu spoľahlivosti) sú pri rovnakej hladine testu ekvivalentné. Dnes sa najčastejšie používa prístup pomocou p–hodnoty, lebo sa najjednoduchšie programuje a nevyžaduje do softwaru vstup hladiny testu - užívateľ programu si záver urobí sám.

Môžeme ale urobiť dva druhy chýb:

skutočnosť\rozhodnutie $H_0$ nezamietame $H_0$ zamietame $H_0$ platí správne $P=1-\alpha$ hladina spoľahlivosti chyba 1. druhu $P=\alpha$ hladina testu $H_0$ neplatí chyba 2. druhu $P=\beta$ správne $P=1-\beta$ sila testu O pravdepodobnosti chyby 2. druhu $\beta$ väčšinou nič nevieme. Z obrázka je jasné, že $\alpha\to 0$ spôsobí $\beta\to 1$. Preto je nutné spraviť kompromis. Takouto kompromisnou hodnotou je obvykle $\alpha=5\%$.

Príklad: Keby bolo $\mu_1=12\,400$, potom by $\beta>1/2$ (viď ďalej).

V princípe môžeme na pravdepodobnosti chýb testovania pozerať nasledujúcim spôsobom: ak nulová hypotéza tvrdí „podozrivý je nevinný“, potom $$\alpha=P(\text{odsúdenie nevinného})\quad\text{a}\quad \beta=P(\text{neodsúdenie páchateľa}).$$ Preto kontrolujeme radšej $\alpha$ ako $\beta$. Zväčšením rozsahu výberu (viac dôkazov) môžeme zmenšiť $\alpha$ aj $\beta$. Ľubovoľnosť voľby $\alpha$ však zostáva filozofickým problémom.

Príklad: Nech v skutočnosti platí $H_1$ s hodnotou $\mu_1=12\,400\text{ hod}$. Aká je pravdepodobnosť chyby 2. druhu? $$\beta=P\left(\overline{X}<12493.5\right) =P\left(\dfrac{\overline{X}-\mu_1}{\sigma}\sqrt{n}<\dfrac{12493.5-12400}{3000}\sqrt{100}\right) =P(Z<0.31)\doteq 0.62\,.$$ Pri tejto veľkosti vzorky je teda odhalenie takéhoto zlepšenia výrobného procesu málo pravdepodobné.
Je však nerealistické rátať len s jednou alternatívnou hodnotou, máme skôr podozrenie na isté rozpätie. Skúsime preto ešte $\mu_1=12\,800\text{ hod}$ a $\mu_1=13\,200\text{ hod}$.
$\text{Pre }\mu_1=12\,800\text{ je } \beta=P\left(\overline{X}<12493.5\right)=P(Z<-1.02)\doteq 0.15\,,$
$\phantom{\text{Pre }}\mu_1=13\,200\text{ je } \beta=P\left(\overline{X}<12493.5\right)=P(Z<-2.36)\doteq 0.01\,.$
Vidíme, že takéto zlepšenia procesu už vieme odhaliť s rozumnou pravdepodobnosťou. Ale naša alternatíva bola vlastne $H_1: \mu>12\,000$. Bolo by teda dobré vypočítať $\beta=\beta(\mu)$ pre každú hodnotu $\mu>12\,000$. Dostaneme tak funkciu - s rastúcim $\mu$ bude $\beta\,$ klesať k 0 a $1-\beta$ rásť k 1.

Funkciu $f(\mu)=1-\beta(\mu)$ nazývame silofunkcia testu. Zobrazuje pravdepodobnosť správneho zamietnutia $H_0$ v závislosti na hodnote testovaného parametra. Zrejme platí $f(\mu_0)=1-\beta(\mu_0)=\alpha$.

Obrázok znázorňuje silofunkciu testu z nášho príkladu. V princípe chceme konštruovať také testy, aby silofunkcia rástla čo najrýchlejšie. Silofunkcia nám pomáha uvedomiť si, aký rozdiel medzi nulovou a alternatívnou hypotézou (tzv. veľkosť efektu) vieme pri danom rozsahu výberu reálne, t.j. s rozumnou pravdepodobnosťou detekovať.

Príklad: Opäť uvažujeme príklad s výrobou obrazoviek. Stále máme $H_0: \mu = 12\,000$, ale tentoraz v situácii, keď niet dôvodu sa domnievať, že by nová technológia nemohla byť aj horšia ako stará. Preto musíme vziať $H_1: \mu \ne 12\,000$. V tom prípade budú proti hypotéze $H_0$ svedčiť veľmi veľké aj veľmi malé hodnoty. Za mieru vzdialenosti $\overline{X}$ od hypotézy vezmeme výraz $\left|\overline{X}-\mu_0\right|$. Máme teda: $$P\left(\left|\overline{X}-\mu_0\right|\geq|12650-12000|\right) =P\left(\dfrac{\left|\overline{X}-\mu_0\right|}{\sigma}\sqrt{n}\geq \dfrac{\left|12650-12000\right|}{3000}\sqrt{100}\right) \doteq P(|Z|>2.17)=2P(Z>2.17)\doteq 0.03\,.$$ To je p–hodnota obojstranného testu.

P–hodnota obojstranného testu vo všeobecnom prípade teda používa ako mieru vzdialenosti od nulovej hypotézy absolútnu hodnotu rozdielu. V tomto zmysle treba chápať aj Definíciu 10.2.1.
Pri klasickom postupe pri obojstrannej alternatíve musíme určiť dve kritické hodnoty, dolnú a hornú tak, že $$P\left(\overline{X}_d<\overline{X}<\overline{X}_h\right) =1-\alpha\,,$$ kde $\alpha$ je hladina testu. Kritický obor potom je $\left(-\infty;\overline{X}_d\right\rangle \cup\left\langle\overline{X}_h;+\infty\right)$.

Príklad: Kritické hodnoty $N(0;1)$  pre $\alpha=5\%$ sú $\pm z_{\alpha/2} =\pm 1.96$. Obe hranice teda dostaneme riešením rovníc $\dfrac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}=\pm z_{\alpha/2}$. Preto $$\overline{X}_d=12000-1.96\dfrac{3000}{\sqrt{100}} \doteq 11412\quad\text{a}\quad\overline{X}_h=12000+1.96\dfrac{3000}{\sqrt{100}} \doteq 12588\,.$$ $H_0$ teda zamietame pre $\overline{X}\leq11412$ alebo $\overline{X}\geq 12588$.

Už vieme, že ekvivalentný postup s pomocou intervalu spoľahlivosti je zamietnuť $H_0$, ak dvojstranný IS neobsahuje $\mu_0$. V prípade jednostranného testu pomocou IS volíme jednostranný IS podľa toho, na ktorej strane od $H_0$ leží alternatíva. Ak je alternatíva pravostranná, použijeme horný IS, v prípade ľavostrannej alternatívy použijeme dolný IS.

Príklad: Pri pôvodnej alternatíve $H_1: \mu>12\,000$ musíme použiť horný IS. Pri $\alpha= 5\%$ je to interval $$\left(\overline{X}-z_{\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}; +\infty\right)=\left(12650-1.645\dfrac{3000}{\sqrt{100}}; +\infty\right) =\left(12156.5;+\infty\right).$$ Tento interval neobsahuje hodnotu 12000, preto $H_0$ zamietame.

Táto podkapitola obsahuje systematické zhrnutie niektorých najdôležitejších štatistických testov. Niektoré už boli uvedené v predchádzajúcom texte, ostatné z uvedeného ľahko vyplýva. Testy neuvedené v tomto prehľade sa odvodia analogickým spôsobom z intervalov spoľahlivosti uvedených v 9. kapitole.

1. test $H_0: \mu=\mu_0$, $\sigma^2$ známe
   • alternatíva $H_1: \mu>\mu_0$
     $H_0$ zamietame, ak $\overline{X}>\mu_0+z_{\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
   • alternatíva $H_1: \mu\ne\mu_0$
     $H_0$ zamietame, ak $\overline{X}>\mu_0+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ alebo $\overline{X}<\mu_0-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
2. test $H_0: \mu=\mu_0$, $\sigma^2$ neznáme (jednovýberový t-test)
   • alternatíva $H_1: \mu>\mu_0$
     $H_0$ zamietame, ak $\overline{X}>\mu_0+t_{n-1}(\alpha)\dfrac{s}{\sqrt{n}}$
   • alternatíva $H_1: \mu\ne\mu_0$
     $H_0$ zamietame, ak $\overline{X}>\mu_0+t_{n-1}(\alpha/2)\dfrac{s}{\sqrt{n}}$ alebo $\overline{X}<\mu_0-t_{n-1}(\alpha/2)\dfrac{s}{\sqrt{n}}$
3. test $H_0: \mu_1=\mu_2$, $\sigma_1^2$ a $\sigma_2^2$ známe
   • alternatíva $H_1: \mu_1\ne\mu_2$
     $H_0$ zamietame, ak $\overline{X}_1-\overline{X}_2>+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$ alebo $\overline{X}_1-\overline{X}_2<-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$,
     čiže ak $\left|\overline{X}_1-\overline{X}_2\right|>z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$
4. test $H_0: \Delta=\mu_1-\mu_2=0$, $\sigma^2$ neznáme pri dvoch závislých náhodných výberoch (párový t-test)
   • alternatíva $H_1: \Delta>0$
     $H_0$ zamietame, ak $\overline{D}>t_{n-1}(\alpha)\dfrac{s_D}{\sqrt{n}}$
   • alternatíva $H_1: \Delta\ne0$
     $H_0$ zamietame, ak $\overline{D}>+t_{n-1}(\alpha/2)\dfrac{s_D}{\sqrt{n}}$ alebo $\overline{D}<-t_{n-1}(\alpha/2)\dfrac{s_D}{\sqrt{n}}$
5. test $H_0: \mu_1=\mu_2$, $\sigma_1^2$ a $\sigma_2^2$ neznáme (dvojvýberový t-test)
   • alternatíva $H_1: \mu_1\ne\mu_2$
     1. prípad $\sigma_1^2=\sigma_2^2$
        $H_0$ zamietame, ak $\left|\overline{X}_1-\overline{X}_2\right|>t_{n_1+n_2-2}(\alpha/2)s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}$,
        kde $s_p^2=\dfrac{1}{n_1+n_2-2} \left[\sum\limits_{i=1}^{n_1}\left(X_{1i}-\overline{X}_1\right)^2+ \sum\limits_{j=1}^{n_2}\left(X_{2j}-\overline{X}_2\right)^2\right]$
     2. prípad $\sigma_1^2\ne\sigma_2^2$
        $H_0$ zamietame, ak $\left|\overline{X}_1-\overline{X}_2\right|>t_{m}(\alpha/2) \sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}$,
        kde $m\doteq\dfrac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2} {\dfrac{1}{n_1-1}\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}\right)^2+\dfrac{1}{n_2-1}\left(\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}$

Ak je jasné, že rozdelenie pravdepodobnosti v skúmanej populácii je výrazne nenormálne, napr. šikmé, nemôžeme použiť klasické testy založené na normalite. V takom prípade obvykle používame neparametrické testy založené na poradiach. Pretože u všeobecného spojitého rozdelenia nemusí existovať ani rozptyl ani stredná hodnota, pri testoch polohy sa zameriavame na medián. Najčastejšie používané testy sú nasledujúce:

• Jednovýberový Wilcoxonov test
  Hypotézy: $H_0: \textit{medián} = a$, alternatíva $H_1: \textit{medián} ≠ a$
  Testová štatistika: položme $Y_i = X_i – a$, $R_i$ nech je poradie $Y_i$ v rade absolútnych hodnôt, $i=1,\dots,n$, $S^+$ a $S^-$ sú súčty poradí kladných a záporných členov, $W = \min\left(S^+, S^-\right)$. Ak $W<w_n(\alpha)$, kde $w_n(\alpha)$ je príslušná kritická hodnota, nulovú hypotézu zamietame v prospech alternatívnej (resp. ak p-hodnota testu je $<\alpha$).
• Párový Wilcoxonov test
  Hypotézy: $H_0: \Delta=\textit{medián}_1-\textit{medián}_2 = 0$, alternatíva $H_1: \Delta \ne 0$
  Testová štatistika: položme $D_i = X_{1i} – X_{2i}$, $R_i$ nech je poradie $D_i$ v rade absolútnych hodnôt, $i=1,\dots,n$, $S^+$ a $S^-$ sú súčty poradí kladných a záporných členov, $W = \min\left(S^+, S^-\right)$. Ak $W<w_n(\alpha)$, nulovú hypotézu zamietame v prospech alternatívnej (resp. ak p-hodnota je $<\alpha$).
• Dvojvýberový Wilcoxonov (Mann-Whitneyov) test
  Hypotézy: $H_0: \textit{medián}_1=\textit{medián}_2$, alternatíva $H_1: \textit{medián}_1\ne\textit{medián}_2$
  Testová štatistika: položme $Z_i = X_{1i}$, $i=1,\dots,n_1$, $Z_i = X_{2i}$, $i=n_1+1,\dots,n_1+n_2$, $R_i$ nech je poradie $X_{1i}$ medzi $Z_{i}$, $S_i$ nech je poradie $X_{2i}$ medzi $Z_{i}$, $U$ je súčet $R_i$ a $V$ je súčet $S_i$, $W = \min\left(U, V\right)$. Ak $W<w_n(\alpha)$, nulovú hypotézu zamietame v prospech alternatívnej (resp. ak p-hodnota je $<\alpha$).

Pojem silofunkcie testu je úzko spojený s pojmom veľkosti efektu. Veľkosť efektu je vzdialenosť skutočnej hodnoty testovaného parametra od hodnoty predpokladanej nulovou hypotézou. Hoci test vie pri dostatočnom množstve pozorovaní odhaliť ľubovoľne malú odchýlku od $H_0$, nie všetky rozdiely sú pre výskumníka naozaj zaujímavé. Napr. pri testovaní životnosti TV obrazoviek nebudú z hľadiska výrobcu zaujímavé rozdiely v minútach, ba ani v hodinách: reálne využiteľný rozdiel je až v desiatkach či stovkách hodín. Preto sa často určuje tzv. minimálna veľkosť efektu, ktorú chceme odhaliť. Ak pre túto veľkosť vieme vyjadriť hodnotu silofunkcie ako funkciu rozsahu výberu, vieme stanoviť aj minimálne $n$, pre ktoré bude sila testu postačujúca. Takýmto spôsobom vieme kontrolovať naraz pravdepodobnosti oboch druhov chýb, $\alpha$ i $\beta$.

1. test $H_0: \mu=\mu_0$, $\sigma^2$ známe
   • alternatíva $H_1: \mu>\mu_0$
     $H_0$ zamietame, ak $\overline{X}>\mu_0+z_{\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Ak skutočná stredná hodnota je $\mu$, potom $$\beta(\mu)=P\left(\overline{X}<\mu_0+z_{\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) =P\left(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma}\sqrt{n}<\frac{\mu_0-\mu}{\sigma}\sqrt{n}+z_{\alpha}\right) =\Phi\left(z_{\alpha}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\right).$$ Ak chceme dosiahnuť konkrétnu hodnotu $\beta$, potom v predchádzajúcom vzťahu musí platiť rovnosť, t.j. $-z_{\beta}=z_{\alpha}-\dfrac{\mu-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}$. Musíme teda mať aspoň $n=\sigma^2\left(\dfrac{z_{\alpha}+z_{\beta}}{\mu-\mu_0}\right)^2$ pozorovaní.
   • alternatíva $H_1: \mu\ne\mu_0$
     $H_0$ zamietame, ak $\overline{X}>\mu_0+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ alebo $\overline{X}<\mu_0-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
     Podobne ako v predchádzajúcom prípade sa dá ukázať, že $$\beta(\mu)=\Phi\left(z_{\alpha/2}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\right) -\Phi\left(-z_{\alpha/2}-\frac{\mu-\mu_0}{\sigma}\sqrt{n}\right) \doteq\Phi\left(z_{\alpha/2}-\frac{\left|\mu-\mu_0\right|}{\sigma}\sqrt{n}\right)$$ a pre dané $\beta$ potrebujeme aspoň $n=\sigma^2\left(\dfrac{z_{\alpha/2}+z_{\beta}}{\mu-\mu_0}\right)^2$ pozorovaní.
2. test $H_0: \mu=\mu_0$, $\sigma^2$ neznáme
   • alternatíva $H_1: \mu>\mu_0$
     $H_0$ zamietame, ak $\overline{X}>\mu_0+t_{n-1}(\alpha)\dfrac{s}{\sqrt{n}}$. Analogicky s predchádzajúcim je $$\beta(\mu)=P\left(\overline{X}<\mu_0+t_{n-1}(\alpha)\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right) =F_{n-1}\left(t_{n-1}(\alpha)-\frac{\mu-\mu_0}{s}\sqrt{n}\right),$$ kde $F_{n-1}$ je distribučná funkcia t-rozdelenia s $n-1$ stupňami voľnosti. Na dosiahnutie zvolenej hodnoty $\beta$ potrebujeme aspoň $n=s^2\left(\dfrac{t_{n-1}(\alpha)+t_{n-1}(\beta)}{\mu-\mu_0}\right)^2$ pozorovaní.
   • alternatíva $H_1: \mu\ne\mu_0$
     $H_0$ zamietame, ak $\overline{X}>\mu_0+t_{n-1}(\alpha/2)\dfrac{s}{\sqrt{n}}$ alebo $\overline{X}<\mu_0-t_{n-1}(\alpha/2)\dfrac{s}{\sqrt{n}}$.
     Platí $$\beta(\mu)=F_{n-1}\left(t_{n-1}(\alpha/2)-\frac{\mu-\mu_0}{s}\sqrt{n}\right) -F_{n-1}\left(-t_{n-1}(\alpha/2)-\frac{\mu-\mu_0}{s}\sqrt{n}\right),$$ a pre dané $\beta$ potrebujeme aspoň $n=s^2\left(\dfrac{t_{n-1}(\alpha/2)+t_{n-1}(\beta)}{\mu-\mu_0}\right)^2$ pozorovaní.
3. test $H_0: \mu_1=\mu_2$, $\sigma_1^2$ a $\sigma_2^2$ známe
   • alternatíva $H_1: \mu_1>\mu_2$
     $H_0$ zamietame, ak $\overline{X}_1-\overline{X}_2>+z_{\alpha}\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$.
     Ak označíme $d=\mu_1-\mu_2$, potom $$\beta(d)=\Phi\left(z_{\alpha}-\frac{d}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}}\right).$$ Ak chceme dosiahnuť konkrétnu hodnotu $\beta$, potom pri $n=n_1=n_2$ musíme mať aspoň $n=2\sigma^2\left(\dfrac{z_{\alpha}+z_{\beta}}{d}\right)^2$ pozorovaní.
   • alternatíva $H_1: \mu_1\ne\mu_2$
     $H_0$ zamietame, ak $\left|\overline{X}_1-\overline{X}_2\right|>z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$.
     Podobne ako v predchádzajúcom prípade sa dá ukázať, že $$\beta(d)=\Phi\left(z_{\alpha/2}-\frac{d}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}}\right) -\Phi\left(-z_{\alpha/2}-\frac{d}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}}\right) \doteq\Phi\left(z_{\alpha/2}-\frac{|d|}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}}\right)$$ a pre dané $\beta$ pri rovnakých $n$ potrebujeme aspoň $n=2\sigma^2\left(\dfrac{z_{\alpha/2}+z_{\beta}}{d}\right)^2$ pozorovaní.