Doteraz sme uvažovali len kvantitatívne štatistické znaky, t.j. tie, ktoré majú číselne vyjadriteľné hodnoty. V praxi sa však často stretávame aj s inými druhmi dát. Z hľadiska ich povahy rozlišujeme

1. kvalitatívne (kategoriálne) dáta: popisujú vlastnosti štatistickej jednotky slovne, definíciou alebo symbolmi. Nadobúdajú vždy diskrétne hodnoty a nemusia sa dať jednoznačne merať. Také sú
   1. nominálne dáta: jednotlivé kategórie vieme pomenovať, ale nie usporiadať. Nedajú sa robiť žiadne matematické operácie okrem určovania početností (napr. pohlavie, farba očí).
   2. ordinálne (poradové) dáta: jednotlivé kategórie vieme usporiadať. Ani tu nemožno robiť matematické operácie (napr. kategórie odpovedí: veľmi nesúhlasím - skôr nesúhlasím - skôr súhlasím - veľmi súhlasím).
2. kvantitatívne (kardinálne) dáta: vyjadrujú vlastnosti štatistickej jednotky priamo číslami. Môžu byť diskrétneho i spojitého charakteru.
   1. intervalové dáta: jednotlivé hodnoty sú dobre usporiadané, ale dáta nemajú absolútnu nulu. Hodnoty je možné sčítať a odčítať, ale nie násobiť a deliť (napr. časové údaje).
   2. racionálne dáta: dobre usporiadané, spravidla spojité dáta s absolútnou nulou. Je možné robiť všetky matematické operácie (napr. hmotnosť, veľkosť obratu).

1. dichotomické (alternatívne, binárne, dvojné) dáta, ktoré majú iba dve možné kategórie (napr. pohlavie) a
2. multinomické dáta, ktoré majú viac možných kategórií (napr. farba očí).

Základom pre skúmanie závislosti či nezávislosti dvoch kvalitatívnych znakov je podobne ako pri jednorozmerných štatistických súboroch zistenie početností. Skúmané znaky označíme symbolmi A a B a budeme ich nazývať riadkový a stĺpcový faktor. Nech znak A môže nadobúdať $r$ a znak B $c$ rôznych hodnôt. Predpokladáme, že máme k dispozícii $n$ štatistických jednotiek a na každej z nich bola určená hodnota oboch znakov. Jednotlivé štatistické jednotky zatriedime do $r\times c$ kategórií zodpovedajúcich všetkým možným kombináciám hodnôt oboch faktorov. Zistené početnosti zhŕňa kontingenčná tabuľka:

Ak $r = c = 2$, hovoríme tiež o asociačnej tabuľke.

Z počtu pravdepodobnosti vyplýva, že v prípade nezávislosti faktorov A a B (t.j. príslušnosť do kategórie $A_i$ nemá žiadny vplyv na pravdepodobnosť príslušnosti do $B_j$ a naopak) by v ideálnom prípade mali pozorované početnosti spĺňať vzťah $$n_{ij}=\frac{n_{i0}n_{0j}}{n}\quad\forall\,i,j.$$ (V prípade nezávislosti totiž pre príslušné pravdepodobnosti platí $p_{ij}=p_{i0}p_{0j}$ a najlepšie odhady týchto pravdepodobností sú $\hat{p}_{ij}=n_{ij}/n$, $\hat{p}_{i0}=n_{i0}/n$ a $\hat{p}_{0j}=n_{0j}/n$.) Tieto početnosti označíme $e_{ij}=\dfrac{n_{i0}n_{0j}}{n}$ a budeme ich nazývať očakávané početnosti.

Veličina $\chi^2$ je základom pre test hypotézy o nezávislosti faktorov A a B. Jej malé hodnoty hovoria v prospech hypotézy, veľké hodnoty v neprospech hypotézy.

V praxi sa zhoda s asymptotickým rozdelením považuje za dostatočnú, ak $e_{ij} > 5\,\, \forall\,i,j$. Ak je $\chi^2>\chi^2_{(r-1)(c-1)}(\alpha)$, hypotézu o nezávislosti faktorov A, B zamietame (na hladine $\alpha$).

Podobnou veličinou je $Y^2=2\sum\limits_{i=1}^r\sum\limits_{j=1}^c n_{ij}\ln\left(n_{ij}/e_{ij}\right)$. Má asymptoticky rovnaké rozdelenie ako $\chi^2$. Niekedy sa nazýva $\chi^2$-pomer vierohodností. V praxi sa veličiny $\chi^2$ a $Y^2$ väčšinou líšia iba málo.

Aplikácia $\chi^2$-testu naráža v praxi na viacero problémov. Okrem toho skutočná hladina testu sa od nominálnej (asymptotickej) môže dosť líšiť. Preto je na testovanie závislosti lepšie použiť USP-test, ktorý je založený na štatistike $$U=\frac{1}{n(n-3)}\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^c\left(n_{ij}-e_{ij}\right)^2-\frac{4}{n(n-2)(n-3)}\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^c n_{ij}e_{ij}.$$ Tento test je pre $n\ge4$ vždy definovaný a presne dodržiava nominálnu hladinu $\alpha$. Jeho jedinou nevýhodou je, že je založený na náhodných permutáciách; preto sa odporúča zvoliť ich počet čo najvyšší.

Hodnota veličiny $\chi^2$ nám hovorí, či môžeme závislosť medzi faktormi A a B považovať za štatisticky významnú alebo nie. Nehovorí však o miere závislosti týchto znakov. Preto boli definované viaceré miery stupňa závislosti:

1. koeficient $\boldsymbol\varphi$ $$\varphi=\sqrt{\frac{\chi^2}{n}}$$ Platí, že $\varphi\geq 0$; pritom hodnoty blízke 0 hovoria o vysokej miere nezávislosti. Nevýhodou je neexistencia horného ohraničenia.
2. kontingenčný koeficient (Pearsonovo C) $$CC=\sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2+n}}$$ Platí $0\leq CC<1$. Hodnoty blízke 0 značia malú závislosť, hodnoty blízke 1 veľkú závislosť znakov. Jeho maximálna hodnota však závisí od rozmerov tabuľky.
3. upravený kontingenčný koeficient (Sakodov koeficient) $$CC_a=\frac{CC}{\min\left(\sqrt{1-1/r},\sqrt{1-1/c}\right)}$$ Je $0\leq CC_a\leq 1$. Tento koeficient nezávisí od rozmerov tabuľky. Jeho interpretácia je podobná ako u CC.
4. Cramerovo V $$V=\sqrt{\frac{\chi^2}{n\cdot\min\left(r-1,c-1\right)}}$$ Je $0\leq V\leq 1$. Ani tento koeficient nezávisí od rozmerov tabuľky. Pre asociačnú tabuľku platí $V = \varphi$. Interpretácia je rovnaká ako u $CC_a$.

Koeficient asociácie založený na USP štatistike je

5. koeficient D $$D=\frac{4}{n(n-3)}\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^c\left(n_{ij}-e_{ij}\right)^2-\frac{16}{n(n-2)(n-3)}\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^c n_{ij}e_{ij}+\frac{4}{n(n-1)(n-3)}\left(\sum_{i=1}^r n_{i0}^2+\sum_{j=1}^c n_{0j}^2\right)+\frac{4(3n-2)}{n^3(n-1)(n-2)(n-3)}\left(\sum_{i=1}^r n_{i0}^2\right)\left(\sum_{j=1}^c n_{0j}^2\right)-\frac{4n}{(n-1)(n-3)}.$$ Platí $0\leq D\leq 1$.

Ďalšie miery závislosti sú odvodené od iných princípov. Goodman a Kruskal definovali niekoľko koeficientov vyjadrujúcich, do akej miery nám znalosť hodnoty jedného znaku pomáha predpovedať hodnotu druhého znaku:

6. koeficienty $\boldsymbol\lambda$ $$\begin{gather*} \lambda_1=\frac{\sum\limits_{j=1}^c\max\limits_i n_{ij}-\max\limits_i n_{i0}}{n-\max\limits_i n_{i0}}\\ \lambda_2=\frac{\sum\limits_{i=1}^r\max\limits_j n_{ij}-\max\limits_j n_{0j}}{n-\max\limits_j n_{0j}}\\ \lambda_{sym}=\frac{\frac12\left(\sum\limits_{j=1}^c\max\limits_i n_{ij}+\sum\limits_{i=1}^r\max\limits_j n_{ij}\right) -\frac12\left(\max\limits_i n_{i0}+\max\limits_j n_{0j}\right)} {n-\frac12\left(\max\limits_i n_{i0}+\max\limits_j n_{0j}\right)} \end{gather*}$$ Je $0\leq \lambda_1,\lambda_2,\lambda_{sym}\leq 1$. Vyjadruje to relatívne zmenšenie chyby predpovede druhého znaku.
7. koeficienty neurčitosti $$\begin{gather*} U_1=\frac{H(A)+H(B)-H(A,B)}{H(B)}\\ U_2=\frac{H(A)+H(B)-H(A,B)}{H(A)}\\ U_{sym}=2\frac{H(A)+H(B)-H(A,B)}{H(A)+H(B)} \end{gather*}$$ kde $H(A)=-\sum\limits_{i=1}^r\dfrac{n_{i0}}{n}\ln\left(\dfrac{n_{i0}}{n}\right)$, $H(B)=-\sum\limits_{j=1}^c\dfrac{n_{0j}}{n}\ln\left(\dfrac{n_{0j}}{n}\right)$ a $H(A,B)=-\sum\limits_{i=1}^r\sum\limits_{j=1}^c\dfrac{n_{ij}}{n}\ln\left(\dfrac{n_{ij}}{n}\right)$ sú entropie (miery neurčitosti) príslušných znakov. Je $0\leq U_1,U_2,U_{sym}\leq 1$. Koeficienty predstavujú zníženie neurčitosti určenia jedného znaku pri znalosti hodnoty druhého.

Závislosť ordinálnych znakov:

V tomto oddieli budeme predpokladať, že hodnoty znakov A a B sú v tabuľke usporiadané (rovnakým spôsobom). Nech $X_{ij}$ označuje pozorovanie patriace do kategórie $(i,j)$, t.j. pozorovali sme na ňom hodnoty $A_i$ a $B_j$. Spoločným základom pre výpočet rôznych mier závislosti je zistenie nasledujúcich údajov:

    $P$ = počet dvojíc pozorovaní $\left(X_{ij}, X_{kl}\right)$, pre ktoré platí $i > k$ a $j > l$ alebo $i < k$ a $j < l$ (konkordantné páry)

    $Q$ = počet dvojíc pozorovaní $\left(X_{ij}, X_{kl}\right)$, pre ktoré platí $i > k$ a $j < l$ alebo $i < k$ a $j > l$ (diskordantné páry)

    $T_A$ = počet dvojíc pozorovaní $\left(X_{ij}, X_{kl}\right)$, pre ktoré platí $i = k$

    $T_B$ = počet dvojíc pozorovaní $\left(X_{ij}, X_{kl}\right)$, pre ktoré platí $j = l$.

1. koeficient $\boldsymbol\gamma$ $$\gamma=\frac{P-Q}{P+Q}$$ Platí $-1\leq \gamma\leq +1$. Je to vlastne rozdiel pravdepodobností konkordantného a diskordantného usporiadania náhodne vybranej dvojice pozorovaní za podmienky, že neexistujú zhodné poradia. Ak sú faktory A, B nezávislé, je $\gamma$ blízke 0, ak sú silne závislé, $\gamma$ sa blíži +1 alebo -1. Nevýhodou je, že zo vzťahu $\gamma = 0$ nevyplýva nezávislosť faktorov. Túto mieru navrhli Goodman a Kruskal.
2. Kendallovo $\boldsymbol\tau_{\boldsymbol b}$ $$\tau_b=\frac{2(P-Q)}{\sqrt{\left(P+Q+T_A\right)\left(P+Q+T_B\right)}}$$ Aj tu je $-1\leq \tau_b\leq +1$. Je to vlastne modifikácia Kendallovho koeficientu poradovej korelácie pre prípad zhodných poradí. Interpretácia je podobná ako u $\gamma$.
3. Kendallovo $\boldsymbol\tau_{\boldsymbol c}$ $$\tau_c=\frac{2\min(r,c)\cdot(P-Q)}{n^2\left[\min(r,c)-1\right]}$$ Niekedy sa nazýva tiež Stuartovo $\tau_c$. Tiež je $-1\leq \tau_c\leq +1$. Berie do úvahy celkový počet pozorovaní a rozmery tabuľky. Interpretácia je podobná ako u $\gamma$.
4. Somersovo d $$\begin{gather*} d_{BA}=\frac{P-Q}{P+Q+T_B}\\ d_{AB}=\frac{P-Q}{P+Q+T_A} \end{gather*}$$ Sú to asymetrické koeficienty predpokladajúce jednosmernú závislosť (v prvom prípade je B závislý a A nezávislý faktor, v druhom naopak). Je $-1\leq d_{BA},d_{AB}\leq +1$. Je to vlastne rozdiel pravdepodobností konkordantného a diskordantného poradia pri náhodnom výbere dvoch pozorovaní za podmienky, že nezávislá premenná nemá zhodné poradia. Interpretácia je podobná ako u $\gamma$.

Na inom prístupe je založený

5. Spearmanov koeficient poradovej korelácie
   Nech $X_1, \dots, X_n$ sú pôvodné pozorovania; označme $r_1, \dots, r_n$ ich poradia v usporiadaní podľa hodnôt faktoru A a $s_1, \dots, s_n$ ich poradia v usporiadaní podľa hodnôt faktoru B (t.j. vektory $\boldsymbol r$ i $\boldsymbol s$  sú permutáciou čísel $1, \dots, n$). Pritom keď sú niektoré pozorovania zhodné (t.j. patria do tej istej kategórie $A_i$ resp. $B_j$), priradíme im všetkým rovnaké priemerné poradie.

   Veta 11.2.3: Majme kontingenčnú tabuľku. Ak všetky pozorovania usporiadame podľa hodnôt faktora A, potom priemerné poradie všetkých hodnôt patriacich do triedy $A_k$ je $$\sum_{i=1}^{k-1}n_{i0}+\frac{n_{k0}+1}{2}\,.$$ Ak všetky pozorovania usporiadame podľa hodnôt faktora B, potom priemerné poradie všetkých hodnôt patriacich do triedy $B_l$ je $$\sum_{j=1}^{l-1}n_{0j}+\frac{n_{0l}+1}{2}\,.$$

   Dôkaz: Zrejme poradie prvej hodnoty v triede $A_k$ je $\sum_{i=1}^{k-1}n_{i0}+1$ a poradie poslednej hodnoty je $\sum_{i=1}^{k-1}n_{i0}+n_{k0}$. Všetky poradia v danej triede tvoria aritmetickú postupnosť. Ich priemer musí byť $\sum_{i=1}^{k-1}n_{i0}+$ priemer čísel $1, \dots, n_{k0}$, ktorý je $\frac{1}{n_{k0}}\cdot\frac{n_{k0}\left(n_{k0}+1\right)}{2}=\frac{n_{k0}+1}{2}$. Podobne to platí pre faktor B. QED.

   Môžeme si ešte všimnúť, že priemerné poradie pozorovaní z triedy $A_k$ sa dá tiež napísať v tvare $C_{k-1}+\frac12\left(F_k+1\right)$, kde $C_{k-1}$ a $F_k$ sú kumulatívne a absolútne početnosti príslušných tried.

   Definícia 11.2.4: Spearmanov koeficient poradovej korelácie je $\phantom{Spearmanov koeficient poradovej korelácie Spearmanov koeficient}$ $$r_S=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}\left(r_i-\bar{r}\right)\left(s_i-\bar{s}\right)} {\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}\left(r_i-\bar{r}\right)^2\sum\limits_{i=1}^{n}\left(s_i-\bar{s}\right)^2}}\,.$$

   Zrejme je $-1\leq r_S\leq +1$. Je to vlastne Pearsonov korelačný koeficient poradí $\left(r_i, s_i\right)$. Interpretácia je preto rovnaká ako u korelačného koeficientu.

Ak obidva merané znaky sú kvantitatívne, používame ako mieru ich závislosti (Pearsonov) korelačný koeficient. Tento pojem bol vysvetlený v kapitole 6. Tu uvedieme vetu, ktorá nám umožňuje testovať hypotézu, že korelačný koeficient je nulový.

Ak teda je $T\geq t_{n-2}(\alpha)$, kde $\alpha$ je zvolená hladina testu, zamietame hypotézu o nulovosti korelačného koeficientu. V opačnom prípade ju nezamietame.

Ak jeden znak je kvalitatívny (nominálny) a druhý kvantitatívny, meriame ich závislosť koeficientom nelineárnej korelácie $\boldsymbol\eta$. Nech kvalitatívny znak je $A$; označíme $X_{ij},\,j=1, \dots, n_i$ hodnoty znaku $B$ príslušné $i$-tej hodnote znaku $A$, t.j. ležiace v kategórii $A_i$. Ďalej označíme $\bar{X}_{i\cdot}=\frac{1}{n_i}\sum\limits_{j=1}^{n_i}X_{ij}$ a $\bar{X}_{..}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{r}\sum\limits_{j=1}^{n_i}X_{ij}$, kde $n=\sum\limits_{i=1}^{r}n_i$. Potom definujeme

Je to vlastne percento celkového rozptylu závisle premennej, ktoré je vysvetlené rozptylom medzi jednotlivými kategóriami nezávisle premennej. Zrejme je $0\leq\eta\leq1$. Koeficient $\eta$ je asymetrický. Ak sú kategórie kvalitatívnej premennej numericky kódované, je možné vyrátať aj symetrický koeficient $\eta$ ako priemer dvoch asymetrických, ale jeho interpretácia je nejasná. $\eta$ nezávisí od poradia kategórií, ak je kvalitatívna premenná ordinálna.

Niekedy je zadeľovanie do kategórií subjektívne. V takej situácii nás môže zaujímať miera zhody dvoch hodnotiteľov. Vtedy sú zrejme znaky A a B v podstate totožné, t.j. majú rovnaké kategórie a $r = c$. Mierou zhody je Cohenovo $\boldsymbol\kappa$:

Platí $-1\leq\kappa\leq+1$. Hodnota 0 znamená, že zhoda hodnotiteľov je iba na náhodnej úrovni. Preto nás za normálnych okolností záporné hodnoty $\kappa$ nezaujímajú. Hodnota 1 znamená úplnú zhodu hodnotiteľov.